Teorema de von Staudt–Clausen

En teoria de números, la teorema de von Staudt–Clausen és un resultat que determina la part fraccionaria dels números de Bernoulli, descobert independentment per [[Karl von Staudt]] i Thomas Clausen en 1840.

Concretament, si n és un sancer positiu i se suma 1/p al número de Bernoulli B_2n per cada primer p tal que p − 1 dividixca a 2n, s'obté un sancer, i.i.,

$B_{2n}+\sum _{(p-1)|2n}\frac{1}{p}\in \mathbb{Z}.$

Este fet permet immediatament caracterisar els denominadors dels números de Bernoulli B_2n distints de zero com el producte de tots els primers p tals que p − 1 dividixca 2n; conseqüentment els denominadors són lliures de quadrats i divisibles per 6.

Estos denominadors són

6, 30, 42, 30, 66, 2730, 6, 510, 798, 330, 138, 2730, 6, 870, 14322, 510, 6, 1919190, 6, 13530, ... Plantilla:OEIS.

Vore també

• Congruència de Kummer

Referències

• (1840).«Theorem».Astronomische Nachrichten.17(22)

351–352.doi:10.1002/asna.18400172204.

• (1934).«A New Proof of a Theorem of V. Staudt».J. London Math. Soc..9(2)

85–88.doi:10.1112/jlms/s1-9.2.85.

• (1840).«Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen betreffend».Journal für Regne und Angewandte Mathematik.21

372–374.ISSN 0075-4102.