Teorema de Siegel–Walfisz

Archiu:Walfisz,Arnold 1920 Göttingen.jpg

Arnold Walfisz, 1920, Gotinga

En teoria analítica de números, la teorema de Siegel–Walfisz va ser obtingut per Arnold Walfisz com una aplicació del teorema de Carl Ludwig Siegel a número primo en progressió aritmètica.

Enunciat de la teorema de Siegel–Walfisz

Es definix

$\psi (x;q,a)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{n\le x}{n\equiv a(\mathrm{mod}q)}}\Lambda (n),$

a on $\Lambda$ denota la funció de von Mangoldt i φ és la funció indicatriz de Euler.

La teorema expressa que donat qualsevol número real N existix una constant positiva C_N dependent únicament de N tal que

$\psi (x;q,a)=\frac{x}{\phi (q)}+O(x\exp (-C_N(\log x{)}^{\frac{1}{2}})),$

sempre que (a, q) = 1 i

$q\le (\log x{)}^N.$

Observacions

La constant C_N no és efectiva computacionalment perque la teorema Siegel és inefectivo.

De la teorema es pot deduir la següent forma del teorema dels número primo per a progressions aritmètiques: Si, para (a,q)=1, per mig de $\pi (x;q,a)$ denotem el número de cosins menor o igual a x que són congruents en a mod q, llavors

$\pi (x;q,a)=\frac{\mathrm{L}\mathrm{i}(x)}{\phi (q)}+O(x\exp (-\frac{C_N}{2}(\log x{)}^{\frac{1}{2}})),$

a on N, a, q, C_N i φ són com en la teorema, i Li denota l'integral logarítmica desplaçada.