Teorema de Roth

En matemàtiques, la teorema de Roth (també conegut com a teorema de Thue-Siegel-Roth) és un resultat fonamental en l'aproximació diofántica als número algebraico. És de tipo qualitatiu, afirmant que els número algebraico no poden tindre moltes aproximacions racionals que siguen "molt bones". Durant mig sigle, el significat de "molt bo" va ser refinat per varis matemàtics, començant en Joseph Liouville en 1844 i continuant en el treball de Axel Thue (1909), Carl Ludwig Siegel (1921), Freeman Dyson (1947) i Klaus Roth (1955).

Enunciat

La teorema de Roth establix que tot número algebraico irracional $\alpha$ té un número de Liouville igual a 2. Açò significa que, per a cada $\epsilon >0$, la desigualtat

$|\alpha -\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^{2+\epsilon }}$

solament pot tindre un número finito de solucions per mig de número coprimo $p$ i $q$. La demostració de Roth d'este fet va resoldre una conjectura de Siegel. D'això es deduïx que tot número algebraico irracional α satisfà que

$|\alpha -\frac{p}{q}|>\frac{C(\alpha ,\epsilon )}{q^{2+\epsilon }}$

sent $C(\alpha ,\epsilon )$ un número positiu que depén únicament de $\epsilon >0$ i de $\alpha$.

Discussió

El primer resultat en esta direcció és el teorema de Liouville sobre l'aproximació d'número algebraico, lo que dona un exponent d'aproximació de d per a un número algebraico α de grau d ≥ 2. Açò ya és suficient per a demostrar l'existència de número trascendente. Thue es va donar conte de que un exponent menor que d tindria aplicacions per a la solució d'equacions diofánticas i en la teorema de Thue de 1909 va establir un exponent $d/2+1+\epsilon$ que va aplicar per a demostrar la finitud de les solucions de l'equació de Thue. La teorema de Siegel millora açò a un exponent al voltant de 2Plantilla:Raïl, i la teorema de Dyson de 1947 té un exponent al voltant de Plantilla:Raïl.

El resultat de Roth en exponent 2 és en cert sentit el millor possible, perque esta afirmació fallaria en establir $\epsilon =0$, ya que pel teorema d'aproximació de Dirichlet hi ha infinites solucions en este cas. No obstant, existix una conjectura més forta de Serge Lang, que propon que

$|\alpha -\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^2\log (q{)}^{1+\epsilon }}$

solament pot tindre un número finito de solucions en número entero p i q. Si es deixa que α recórrega tot el conjunt dels número real, no solament els reals algebraics, llavors es complixen tant la conclusió de Roth com la de Lang para casi tot $\alpha$. Llavors, tant la teorema com la conjectura afirmen que un determinat conjunt numerable omet un determinat conjunt de mida zero.

Actualment, la teorema no és efectiu, és dir, no es coneix cap llímit per als valors possibles de p i q donat $\alpha$. Davenport y Roth (1955) va demostrar que les tècniques de Roth podrien usar-se per a donar un llímit efectiu per al número de p/q que satisfan la desigualtat, utilisant un principi de "brecha". El fet de que en realitat no se sàpia C(ε) significa que el proyecte de resoldre l'equació, o acotar el tamany de les solucions, està fòra del nostre alcanç.

Vore també

• Conjectura abc
• Geometria diofántica

Bibliografia

• (1955).«Rational approximations to algebraic numbers».Mathematika.2(2)

160–167.ISSN 0025-5793.doi:10.1112/S0025579300000814.

• (1947).«The approximation to algebraic numbers by rationals».Acta Mathematica.79

225–240.ISSN 0001-5962.doi:10.1007/BF02404697.

• (1955).«Rational approximations to algebraic numbers».Mathematika.2

1–20, 168.ISSN 0025-5793.doi:10.1112/S0025579300000644.

• Wolfgang M. Schmidt(1996).«Diophantine approximation».Springer.785doi:10.1007/978-3-540-38645-2.
• Wolfgang M. Schmidt(1991).«Diophantine approximations and Diophantine equations».Springer-Verlag.1467doi:10.1007/BFb0098246.
• (1921).«Approximation algebraischer Zahlen».Mathematische Zeitschrift.10(3)

173–213.ISSN 0025-5874.doi:10.1007/BF01211608.

• (1909).«Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen».Crelle (revista).1909(135)

284–305.ISSN 0075-4102.doi:10.1515/crll.1909.135.284.