Teorema de Ribet

Archiu:Ken Ribet, Boston 1995. caps block 0

Ken Ribet, fotografiat en 1995.

En matemàtiques, la teorema de Ribet (abans cridat conjectura épsilon o conjectura ε de Serre) és un enunciat en teoria de números relatiu a les propietats de les representacions de Galois associades a les formes modular. Va ser propost per Jean-Pierre Serre i demostrat per Ken Ribet. La prova de la conjectura epsilon va ser un pas significatiu cap a la demostració del Última Teorema de Fermat. Com varen demostrar Serre i Ribet, la conjectura de Taniyama-Shimura (la situació de la qual no estava resolta en eixe moment) i la conjectura epsilon, abdós en conjunt, impliquen que l'última teorema de Fermat és cert.

Enunciat

Siga I una curva elíptica en coeficients sancers en una forma mínima global. Denotem per δ_p, respectivament, n_p, l'exponent en el que un primer p apareix en la factorización primera del discriminante Δ d'I, respectivament, el conductor N de E. Supongam que I és una curva elíptica modular, a continuació, podem realisar un descens de nivell mòdul primers ℓ dividint un dels exponents δ_p d'un cosí que dividix al discriminante. Com I és modular, existix una forma modular f en la mateixa série L que I, i ademés se sap que f és de pes 2 i té nivell N igual al conductor de E. Si p^δp és un factor de potència impar prima de Δ tal que l'exponent δ_p és múltiple de ℓ, i si p dividix a N només una volta (és dir, n_p = 1), llavors existix una atra forma modular f' també de pes 2, en nivell N'=N/p, de modo que els coeficients de la série L d'I són congruents mòdul ℓ en els coeficients de la série L de f'.

La conjectura épsilon és una declaració relativa: si s'assumix que una determinada curva elíptica I sobre Q és modular, prediu el nivell minimal que tindrà una forma modular que la seua série L és congruent en la d'I mòdul ℓ. La teorema pot enunciar-se més generalment partint d'una forma modular f, estiga associada o no a una curva elíptica: el resultat de Ribet de descens de nivell és un resultat enterament sobre formes modular, i és només en la seua aplicació a l'Última Teorema de Fermat (en combinació en els treballs de Frey i Wiles) a on s'especialisa al cas d'una curva elíptica modular. En general, el nivell minimal que garantisa el resultat de Ribet (per a una forma modular f' que tinga série L congruent mòdul ℓa la d'una forma modular f donada) serà igual al conductor de Artin de la representació de Galois residual mòdul ℓ associada a f, el qual és ben sabut que dividix al nivell N de f.

Una forma breu puix d'enunciar el resultat de Ribet de descens de nivell per a formes modular seria: Si el conductor de Artin de la representació de Galois mòdul ℓ d'una forma modular de nivell N és un divisor propi N' de N, llavors existix una atra forma modular f' de nivell N' que la seua série L és congruent mòdul ℓ en la de f. En particular, les representacions de Galois mòdul ℓassociades a f i a f' són isomorfas. (En este enunciat quan parlem de formes modular en realitat han de ser també formes cuspidales pròpies per a l'àlgebra de Hecke, un atre punt tècnic essencial en el resultat de Ribet és que es deu posar com a hipòtesis que la representació mòdul ℓassociada a f és irreducible).

Aplicació a l'Última Teorema de Fermat

En la seua tesis, Yves Hellegouarch definix un objecte que ara és cridat curva de Frey. Si ℓ és un cosí impar i a, b, i c són número entero positius tals que

$a^{\ell }+b^{\ell }=c^{\ell },$

llavors, una curva de Frey corresponent és una curva algebraica donada per l'equació

$y^2=x(x-a^{\ell })(x+b^{\ell })$

o, de modo equivalent

$y^2=x(x-a^{\ell })(x-c^{\ell }).$

Esta és una curva algebraica no singular de gènero un sobre Q, que és també (com a curva proyectiva, és dir, afegint-li el punt a l'infinit, que per correspondre a la direcció vertical està en Q) curva elíptica sobre Q. Gerhard Frey va sugerir que qualsevol curva de tal naturalea, per ser semiestable i per la forma especial de la seua discriminante (que resulta ser una potència ℓ-esima) tindria massa propietats peculiars, i, en particular, no va a ser modular. A primers de la década de 1980, Jean-Pierre Serre va donar una reformulación en térmens de representacions de Galois, i va demostrar que suponent la conjectura épsilon (ara Teorema de Ribet) Frey hi havia estat encertat i que una curva de Frey no pot ser modular.

Les conjectura de Taniyama-Shimura i la épsilon impliquen l'Última Teorema de Fermat

Supongam que l'equació de Fermat en l'exponent ℓ ≥ 3 tinga una solució en sancers a, b, c distints de zero. Anem a formar la corresponent curva de Frey I. Es tracta d'una curva elíptica i es pot demostrar que la seua discriminante Δ és igual a 16(abc)^2ℓ i el seu conductor N és el radical de abc, és dir, el producte de tots els cosins distints que dividixen a abc. Segons el teorema de Taniyama-Shimura, I és una curva elíptica modular. ya que N és lliure de quadrats i vista la forma del discriminante, per la conjectura épsilon un pot realisar descens de nivell de mòdul ℓ. Repetint este procediment, anem a eliminar tots els cosins impars del conductor i aplegar a una congruència mòdul ℓentre la série L d'I i la d'una forma modular de pes 2 i nivell 2. No obstant, l'espai de formes modular (cuspidales) d'este pes i nivell és trivial, lo que resulta en una contradicció.

Coda

En 1994, Andrew Wiles i Richard Taylor varen completar una prova d'una part de la conjectura de Taniyama-Shimura, relativa a la modularidad de les curves elíptiques semiestables, la qual cosa és suficient per a donar com resultat l'última teorema de Fermat. Els seus treballs varen ser publicats en 1995 en Annals of Mathematics. En el seu abans mencionat treball, Jean-Pierre Serre va formular una conjectura més forta de modularidad, coneguda com Conjectura de Serre (en versió dèbil i forta) que per al cas de representacions de Galois de nivell 2 i pes 2, cóm observa Serre en el seu treball, permet donar una atra demostració de l'última teorema de Fermat. Este cas de la conjectura de Serre va ser resolt en 2004 per C. Khare i J.-P. Wintenberger i, independentment, per L. Dieulefait.

Vore també

• Conjectura abc
• Curves elíptiques

Referències

• Anthony W. Knapp, Elliptic Curves, Princeton, 1992
• Ken Ribet(1990).Inventiones mathematicae 100.(2)

431–471.

• Kenneth Ribet, From the Taniyama-Shimura conjecture to Fermat's last theorem. Annales de la vaig facultar dones sciences de Toulouse Sér. 5, 11 no. 1 (1990), p. 116–139.
• Andrew WilesAnnals of Mathematics.141(3)

443–551.doi:10.2307/2118559.

• Frey Curve en MathWorld. i Ribet's Theorem en MathWorld.