Radical d'un sancer

En teoria de números, el radical d'un sancer positiu n, és el producte dels número primo que dividixen n. S'utilisa en diverses parts de la teoria de números, per eixemple, en la formulació de la conjectura abc.

Definició

La definició formal és la següent:

Si

$n=p_1^{{\alpha }_1}\cdots p_k^{{\alpha }_k}{\alpha }_k\in {\mathbb{N}}_0,p\in \mathbb{P}$

és un número natural format per factors primers distints elevats a un cert exponent, llavors:

$\mathrm{rad}(n)=\prod _{p\mid n}p$

Una atra definició equivalent, considerant $𝒮$ el conjunt de sancers positius que són lliures de quadrats, és:

$\mathrm{rad}(n)=\sup \{x\in 𝒮:x\le n\wedge x\mid n\}$

o siga, el major sancer lliure de quadrats que dividix a n. Per conveni, rad(1) = 1.

Els radicals dels primers número entero positius són 1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10,... (seqüència Plantilla:OEIS2 en OEIS)

Propietats

• La funció rad(n) és multiplicativa. Si n i m són dos número entero positius coprimos, llavors:

$\mathrm{rad}(m\cdot n)=\mathrm{rad}(m)\cdot \mathrm{rad}(n)$

• n és un sancer lliure de quadrats si i només si rad(n) = n.