Teorema de Pompeiu

La teorema de Pompeiu és un resultat de la geometria plana descobert pel matemàtic rumà Dimitrie Pompeiu. La teorema és simple, pero no clàssic. L'enunciat és:

Donada un triàngul equilátero ABC en el pla, i donat un punt P en el pla del triàngul ABC, es pot construir un triàngul de costats iguals a PA, PB i PC. Si P està en la circumferència circumscrita a ABC, el triàngul resultant és degenerado.

Pompeiu va publicar la teorema en 1936. No obstant, August Ferdinand Möbius ya havia publicat en 1852 una teorema més general de quatre punts en el pla euclídeo. En este artícul, Möbius també havia desenrollat explícitament l'enunciat de Pompeiu com un cas especial de la seua teorema. Per esta raó, la teorema també rep el nom de teorema de Möbius-Pompeiu.

Demostració

Demostració de la teorema de Pompeiu a partir del triàngul de Pompeiu $\mathrm{△}PC{P}^{\prime }$.

Considere's una rotació de 60° al voltant del punt B, de tal forma que l'image de A és C i l'image de P és P′. Llavors, $PB=P^{\prime }B$, i $\mathrm{\angle }PB{P}^{\prime }=60^{\circ }$. Per tant, el triàngul PBP′ és equilátero i $P{P}^{\prime }=PB$. Llavors, $PA=P^{\prime }C$. Per tant, el triàngul PCP′ té costats iguals a PA, PB i PC, i la demostració per construcció està completa (vore l'ilustració).

Cas particular

En cas que P es trobe en la circumferència circumscrita al triàngul, llavors PA, PB i PC formen un triàngul degenerado, sent el costat més llarc igual a la suma dels atres dos. Esta observació també es coneix com teorema de Van Schooten.