Teorema de Lochs

En teoria de números, la teorema de Lochs és una teorema que es referix a la taxa de convergència de l'expansió en fracció contínua d'un número real típic. La teorema va ser provada per Gustav Lochs en 1964.

La teorema establix que para casi tots els número real en l'interval (0,1), la cantitat m de térmens de l'expansió en fracció contínua d'un número que es necessiten per a determinar els primers n llocs de l'expansió decimal de dit número es comporta asintóticamente de la següent manera:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{m}{n}=\frac{6\ln 2\ln 10}{{\pi }^2}\approx 0,97027014.$

Conforme este llímit és llaugerament menor a 1, es pot interpretar com si diguérem que cada terme adicional en la representació en fracció contínua d'un número real «típic» incrementa la precisió de la representació per aproximadament un lloc decimal. El sistema decimal és l'últim sistema posicional para el qual cada dígit porta menys informació que un cocient de fracció contínua. Utilisant una base 11 (canviant $\ln 10$ per $\ln 11$ en l'equació) fa que el valor de dalt sobrepasse el valor d'1.

el recíproc d'este llímit,

$\frac{{\pi }^2}{6\ln 2\ln 10}\approx 1,03064083,$

és el doble del logaritmo en base 10 de la constant de Lévy.