Teorema de Laplace

La teorema de Laplace (també conegut com a regla de Laplace o desenroll de Laplace), aixina cridat en honor del matemàtic francés homònim Pierre-Simon Laplace és una teorema matemàtica que permet simplificar el càlcul de determinants en matrius d'elevades dimensions a pur de descompondre-ho en la suma de determinants menors.

La teorema afirma que el determinant d'una matriu és igual a la suma dels productes de cada element (d'un rengló o columna) per la determinant de la seua matriu adjunta, lo que reduïx un determinant de dimensió n a n determinants de dimensió n-1. Aplicat de forma successiva, permet aplegar a matrius 3x3 (en lo que es pot aplicar la regla de Sarrus) o 2x2 (en el que el determinant és el producte de la diagonal principal menys el de la secundària).

Es pot optimisar els càlculs aplicant la regla de Chio i fent zeros lo que reduïx el número de determinants de ranc inferior a calcular.

Conceptes previs

Abans d'afrontar el càlcul de determinants per la teorema de Laplace, anem a vore alguns conceptes necessaris per al seu desenroll.

Matriu quadrada

AP

Una matriu en la que número de files siga igual al de columnes, es denomina matriu quadrada, si el número de files i de columnes és n, es denomina matriu n×n o matriu quadrada d'orde n.

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \cdots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \cdots & a_{n,n}\end{array}\right)$

Determinant d'una matriu

AP

Es diu determinant d'una matriu quadrada d'orde n, els térmens de la qual pertanyen al cos K, en escalar que s'obté en sumar tots els diferents productes de n elements, que es poden formar en els elements de la matriu, de modo que en cada producte figuren elements de totes les files i totes les columnes de la matriu, a cada producte se li assigna el signe: (+), si la permutació dels subíndexs de files dels seus elements és de la mateixa classe que la permutació dels subíndexs de les columnes i el signe: (–) si les permutació són de distinta classe.

$\det (A)=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \cdots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \cdots & a_{n,n}\end{array}\right|$

Menor complementari

Partint d'una matriu quadrada: A, d'orde n, es diu menor complementari de l'element $a_{ij}$, i ho representem ${\alpha }_{ij}$ al determinant de la matriu quadrada d'orde n-1 que resulta d'eliminar de la matriu A la fila i i la columna j.

Donada la matriu quadrada d'orde 5:

$A=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}& a_{1,4}& a_{1,5}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}& a_{2,4}& a_{2,5}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,3}& a_{3,4}& a_{3,5}\\ a_{4,1}& a_{4,2}& a_{4,3}& a_{4,4}& a_{4,5}\\ a_{5,1}& a_{5,2}& a_{5,3}& a_{5,4}& a_{5,5}\end{array}\right)$

el menor complementari de l'element $a_{2,3}$, serà ${\alpha }_{2,3}$:

${\alpha }_{2,3}=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,4}& a_{1,5}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,4}& a_{3,5}\\ a_{4,1}& a_{4,2}& a_{4,4}& a_{4,5}\\ a_{5,1}& a_{5,2}& a_{5,4}& a_{5,5}\end{array}\right|$

i el menor complementari de l'element $a_{2,2}$, serà ${\alpha }_{2,2}$:

${\alpha }_{2,2}=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,3}& a_{1,4}& a_{1,5}\\ a_{3,1}& a_{3,3}& a_{3,4}& a_{3,5}\\ a_{4,1}& a_{4,3}& a_{4,4}& a_{4,5}\\ a_{5,1}& a_{5,3}& a_{5,4}& a_{5,5}\end{array}\right|$

Adjunt d'un element

Es diu adjunt de l'element $a_{ij}$ i es representa $A_{ij}$ al determinant que resulta en atribuir el signe: (+) al menor complementari ${\alpha }_{ij}$ si i+j és parell o el signe: (–) si i+j és impar.

$A_{ij}=(-1{)}^{(i+j)}{\alpha }_{ij}$

Donada la matriu quadrada d'orde 5:

$A=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}& a_{1,4}& a_{1,5}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}& a_{2,4}& a_{2,5}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,3}& a_{3,4}& a_{3,5}\\ a_{4,1}& a_{4,2}& a_{4,3}& a_{4,4}& a_{4,5}\\ a_{5,1}& a_{5,2}& a_{5,3}& a_{5,4}& a_{5,5}\end{array}\right)$

l'adjunt de l'element $a_{2,3}$, serà $A_{2,3}$:

$A_{2,3}=-\left|\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,4}& a_{1,5}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,4}& a_{3,5}\\ a_{4,1}& a_{4,2}& a_{4,4}& a_{4,5}\\ a_{5,1}& a_{5,2}& a_{5,4}& a_{5,5}\end{array}\right|$

i l'adjunt de l'element $a_{2,2}$, serà $A_{2,2}$:

$A_{2,2}=+\left|\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,3}& a_{1,4}& a_{1,5}\\ a_{3,1}& a_{3,3}& a_{3,4}& a_{3,5}\\ a_{4,1}& a_{4,3}& a_{4,4}& a_{4,5}\\ a_{5,1}& a_{5,3}& a_{5,4}& a_{5,5}\end{array}\right|$

Cas general

Partint d'una matriu quadrada de grau n, segons la teorema de Laplace el valor del seu determinant és igual a la suma dels productes dels elements d'una fila o columna pels seus adjunts, aixina prenent una fila f qualssevol el determinant és:

$\det (A)=\sum _{j=1}^n{a}_{f,j}{A}_{f,j}$

I prenent una columna c, serà:

$\det (A)=\sum _{i=1}^n{a}_{i,c}{A}_{i,c}$

Funció recursiva per al càlcul del determinant d'una matriu

Podem concloure en una Funció recursiva per al càlcul del determinant, sabent que el valor del determinant d'una matriu d'orde un és l'únic element d'eixa matriu, i el d'una matriu d'orde superior a un és la suma de cada u dels elements d'una fila o columna pels Adjunts a eixe element, com en la funció recursiva s'ampra la mateixa funció definida el càlcul ho farem per Menor complementari, un eixemple desenrollat per la primera fila seria:

$\det (A_{j,j})=\{\begin{array}{cccc}si& j=1& \to & a_{1,1}\\ \\ si& j>1& \to & \sum _{k=1}^j(-1{)}^{(1+k)}\cdot a_{1,k}\cdot \det ({\alpha }_{1,k})\end{array}$

Referències

• David Poole: Linear Algebra. A Modern Introduction. Cengage Learning 2005, ISBN 0-534-99845-3, p. 265-267 (Còpia en llínea restringida, p. 265, en Google Libros)

• Harvey E. Rose: Linear Algebra. A Pure Mathematical Approach. Springer 2002, ISBN 3-7643-6905-1, p. 57-60 (Còpia en llínea restringida, p. 57, en Google Libros)