Teorema de Hjelmslev

Archiu:Hjelmslev's theorem.svg

Els trios de punts rojos en cada una de les dos rectes negres estan a les mateixes distàncies relatives dins de cada trio. Segons la teorema de Hjelmslev, els tres punts mijos dels parells de punts corresponents estan sobre la mateixa recta (verda)

En geometria, la teorema de Hjelmslev, que du el nom de Johannes Hjelmslev (1873-1950), afirma que si els punts P, Q, R ... situats sobre una mateixa recta, s'assignen isométricamente als punts P´, Q´, R´ ... d'una atra recta en el mateix pla, els punts mijos dels segments PP´, QQ´, RR´… també es troben en una recta.

Demostració

La demostració és senzilla si s'assumix la classificació d'isometría planes. Si la isometría donada és impar, en el cas de la qual és necessàriament una reflexió respecte a una recta o una reflexió esgolada (el producte de tres reflexions respecte a una recta i dos perpendicular sobre ella), llavors l'afirmació és certa per a qualsevol trio de punts en qualsevol pla: el punt mig de PP´ es troba sobre l'eix de la reflexió (en esmonyida segons el cas) per a qualsevol P. Si la isometría és parell, es pot compondre en la reflexió en la llínea PQR per a obtindre una isometría impar en el mateix efecte en P, Q, R ... i aplicar la conclusió anterior.

L'importància de la teorema radica en el fet de que posseïx una demostració implícita en la particularitat de que no requerix presupondre l'existència del postulat de les paraleles i, per lo tant, també és vàlida en la geometria no euclídea. Partint d'esta premissa, la funció que fa correspondre cada punt P del pla al punt mig del segmente P´P´´, a on P´ i P´´ són les imàgens de P baixe una rotació (en qualsevol sentit) segons un àngul agut al voltant d'un centre donat, es veu com una colineación que aplica tot el pla hiperbòlic punt a punt en l'interior d'un disc, proporcionant aixina una bona noció intuïtiva de l'estructura llineal del pla hiperbòlic. De fet, açò es diu la transformació de Hjelmslev.

Referències

• .