Teorema de Gerschgorin

Teorema de Gerschgorin

La teorema de Gershgorin és utilisat en àlgebra llineal per a trobar una cota dels valors propis d'una matriu quadrada. Va ser publicat pel matemàtic soviètic Semyon Aranovich Gershgorin en 1931.

Discs de Gershgorin

Siga $A=(a_{ij})\in {ℳ}_n(ℂ)$ una matriu complexa.

Per a cada

$i\in \{1,\mathrm{...},n\}$

, siga

$R_i$

la suma dels valors absoluts de les entrades no diagonals de la

$i$

-ésima fila de

$A$

:

$R_i=\sum _{j\ne i}|a_{ij}|$

.

De la mateixa manera, poden definir-se els discs de Gershgorin per columnes d'una matriu.

Teorema

Els valors propis de la matriu $A$ es troben en els discs de Gerschgorin. Açò és, si $\lambda \in ℂ$ és valor propi de $A$, llavors $\lambda \in D_i$ per a algun $i\in \{1,\mathrm{...},n\}$.

Corolari

Els valors propis de la matriu $A$ es troben en els discs de Gerschgorin corresponents a les columnes de $A$.

Observació important

La teorema no diu que hi haja un únic disc que continga a cada valor propi, ni que cada disc continga un únic valor propi.

En el cas de que un disc siga disjunto dels demés, sí és cert que conté un sol valor propi. No obstant, si dos discs tenen intersecció no buida, pot ser que un d'ells continga dos valors propis i l'atre cap.

En general, pot provar-se que:

Si l'unió de $k$ discs és disjunta dels atres $n-k$ discs, llavors esta conté exactament $k$ valors propis.