Teorema de Buchdahl

Evolució de la pressió central front a la compacidad (ràdio sobre massa) per a una 'estrela' de densitat uniforme. Esta pressió central divergix en el llímit de Buchdahl.

En relativitat general, la teorema de Buchdahl, cridat aixina per Hans Adolf Buchdahl, fa més precisa l'idea de que existix una densitat màxima permesa per a la matèria gravitante ordinària. Dona una desigualtat entre la massa i el radi que deu complir-se per a configuracions de matèria estàtiques i esféricamente simètriques baix certes condicions. En particular, per a una "estrela" de radi $R$, la massa $M$ deu satisferPlantilla:Caixa d'equació

on $G$ és la constant de gravitació universal i $c$ és la velocitat de la llum . Esta desigualtat a sovint es denomina llímit de Buchdahl . Històricament, el llímit també s'ha cridat llímit de Schwarzschild, ya que Karl Schwarzschild va senyalar per primera volta que existix en el cas especial d'un decorregut de densitat constant. No obstant, esta terminologia no deu confondre's en el ràdio de Schwarzschild, que és notablement més chicotet que el radi en el llímit de Buchdahl.

Teorema

Donada una solució estàtica i esféricamente simètrica de les equacions d'Einstein (sense constant cosmológica ) en matèria confinada en una esfera de radi $R$ que es comporta com un decorregut perfecte en una densitat que no aumenta cap a l'exterior (un radi $R$ correspon a una esfera de superfície $4\pi R^2$ . En l'espai-temps curve, el radi propi de tal esfera no és necessàriament $R$) Supon ademés que la densitat i la pressió no poden ser negatives. La massa d'esta solució deu satisferPlantilla:Caixa d'equacióPer a la seua prova de la teorema, Buchdahl usa l'equació de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV).

Significat

La teorema de Buchdahl és útil quan es busquen alternatives als forats negres. Tals intents a sovint s'inspiren en la paradoxa de la pèrdua d'informació ; una forma d'explicar (part de) la matèria obscura; o per a criticar que les observacions dels forats negres es basen en l'exclusió d'alternatives astrofísiques conegudes (com les estreles de neutrons ) i no en proves directes. No obstant, per a proporcionar una alternativa viable, a voltes es necessita que l'objecte siga extremadament compacte i, en particular, que viole la desigualtat de Buchdahl. Açò implica que un dels supòsits de la teorema de Buchdahl deu ser inválido. Es pot fer un esquema de classificació basat en quina suposts es violen.