Teorema d'existència de Carathéodory

La teorema d'existència de Carathéodory diu que una equació diferencial ordinària té una solució baix condicions dèbils. És una generalisació del teorema d'existència de Peano, el qual requerix que el costat dret de l'equació diferencial siga continu,mentres que la teorema de Carathéodory mostra l'existència de solucions (en un sentit més general) per a algunes equacions discontínues. El nom de la teorema es deu a Constantin Carathéodory.

Introducció

Es considera la següent equació diferencial

$y^{\prime }(t)=f(t,y(t))$ en la condició inicial $y(t_0)=y_0,$

a on la funció ƒ es definix sobre un domini rectangular de la forma

$R=\{(t,y)\in 𝐑\times {𝐑}^n:|t-t_0|\le a,|y-y_0|\le b\}.$

La teorema d'existència de Peano establix que si ƒ és contínua, llavors l'equació diferencial té per lo manco una solució en un entorn de la condició inicial.

No obstant, també és possible considerar equacions diferencials en una discontinuidad en el costat dret, com per eixemple l'equació:$y^{\prime }(t)=H(t),y(0)=0,$ a on H és la funció de Heaviside definida per

$H(t)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }t\le 0;\\ 1,& \text{if }t>0.\end{array}$

La funció rampa

$y(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}H(s)\mathrm{d}s=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }t\le 0;\\ t,& \text{if }t>0\end{array}$

és una solució de l'equació diferencial. En forma estricta, no satisfà l'equació diferencial en $t=0$, perque la funció no és diferenciable en eixe punt. Açò sugerix que l'idea d'una solució s'estén permetent solucions que no són en tots els llocs diferenciables, aixina que açò motiva la següent definició.

Una funció i es denomina solució en sentit estés de l'equació diferencial $y^{\prime }=f(t,y)$ en condició inicial $y(t_0)=y_0$ si i és absolutament contínua, i satisfà l'equació diferencial casi en tots els llocs i i satisfà la condició inicial. La continuïtat absoluta de i implica que la seua derivada existix en casi totes parts.

Vore també

• Equació diferencial ordinària
• Funció contínua
• Funció lipschitziana
• Problema de Cauchy
• Teorema d'existència de Peano
• Teorema de Picard-Lindelöf

Referències

Bibliografia

• (1955).«Theory of Ordinary Differential Equations».McGraw-Hill.New York:.
• (1987).«Real and complex analysis».McGraw-Hill.New York:.