Temps de parada

Eixemple de temps de parada en un Moviment browniano.

En teoria de la provabilitat, en particular en l'estudi dels processos estocàstics, el temps de parada (també conegut com a temps de Markov) és un tipo específic de «temps aleatori».

La teoria del temps de parada pot ser analisada en provabilitat o en estadística, notablement a través del teorema de la parada opcional. Ademés, els temps de parada són freqüentment aplicats en proves matemàtiques per a «controlar el continuum de temps», com Chung ho va expressar en el seu llibre en 1982.

Definició

Definició discreta

Es diu que una variable aleatòria $T$ és un temps de parada respecte de les variables aleatòries $\{X_0,X_1,\mathrm{...},X_n\}$ si basats en l'informació proporcionada per $\{X_0,X_1,\mathrm{...},X_n\}$ podem determinar si l'event $\{T=n\}$ ha ocorregut. L'event $\{T=n\}$ no és l'únic que queda determinat per l'informació proporcionada per $\{X_0,X_1,\mathrm{...},X_n\}$. De fet, existixen atres events com $\{T\le n\},\{T\ge n\},\{T<n\}\text{ y }\{T>n\}$.

Una atra definició basada en processos estocàstics és la següent: siga $T$ una variable aleatòria definida sobre ${\mathbb{N}}_0\cup \{\mathrm{\infty }\}$ i $(X_k{)}_{k\ge 0}$ un procés estocàstic. Si para tot $n\ge 0$ tots els events $\{T\le n\}$ estan determinats totalment pels elements $(X_0,X_1,\mathrm{...},X_n)$ es diu que $T$ és un temps de parada. També rep el nom de temps de Markov.

Definició usant filtracions

Siga $(\Omega ,ℱ,𝔽=({ℱ}_t{)}_{t\in T},P)$ un espai de provabilitat filtrat, a on $T$ és un conjunt d'índexs, a sovint $T=\mathbb{N}$ o $T=[0,\mathrm{\infty })$. Un temps de parada és una variable aleatòria $\tau :\Omega \to T$ tal que $\{\tau =t\}\in {ℱ}_t$ para tot $t\in T$.

El temps de parada té lloc en la teoria de la decisió, en la qual una regla de parada es caracterisa com un mecanisme que servix per a decidir si continuar o detindre un procés sobre la base de la posició presente i d'events passats, i que casi segurament conduïx a una decisió per a detindre en algun moment de temps.

Bibliografia

• (2013).Statistics and Probability Letters.83(1)

345–349.doi:10.1016/j.spl.2012.09.024.