Relació d'Einstein (teoria cinètica)

En física (específicament en teoria cinètica dels gasos), la relació d'Einstein (també coneguda com a relació d'Einstein-Smoluchowski) és una conexió prèviament inesperada —revelada de forma independent per William Sutherland en 1904, Albert Einstein en 1905, i per Marian Smoluchowski en 1906— en l'estudi del moviment browniano que determina la constant de difusió d'una partícula per mig de la següent equació:

$D=\mu k_{b}T$

a on:

D, és la constant de difusió;

μ, la movilitat de la partícula, és dir el cocient de la velocitat terminal i la força aplicada, açò és:μ = v_d/F;

k_B, la constant de Boltzmann i

T, la temperatura absoluta del decorregut.

Atres dos casos significatius d'esta relació són:

• Equació d'Einstein–Smoluchowski, per a la difusió de partícules carregades:

$D=\frac{{\mu }_q{k}_{\text{B}}T}{q}$

• Equació de Stokes–Einstein, per a la difusió de partícules esfèriques a través d'un líquit en baix número de Reynolds:

$D=\frac{k_{\text{B}}T}{6\pi \eta r}$

a on

q, és la càrrega elèctrica de la partícula;

μ_q, és la movilitat elèctrica de la partícula carregada;

η, és la viscosidad dinàmica;

r, és el radi de la partícula esfèrica.

Casos especials

Equació de movilitat elèctrica

Una partícula en una càrrega elèctrica determinada q, té una movilitat elèctrica μ_q relacionada en la seua movilitat general μ i donada per l'equació μ = μ_q/q. El paràmetro μ_q està determinat per la relació entre la velocitat de deriva final de la partícula en un camp magnètic determinat. Aixina que, l'equació de movilitat elèctrica és:

$D=\frac{{\mu }_q{k}_{b}T}{q}$

Equació de Stokes-Einstein

En el llímit de baix número de Reynolds, la movilitat μ és l'invers d'un coeficient d'arrastre ζ. Est apareix dau per una constant de amortiguación γ =ζ/m, que és freqüentment usada per al temps de relaixació dinàmica (Temps mínim necessari per a que el moment d'inèrcia siga insignificant, si se li compara en un moment qualsevol) de l'objecte en difusió. Llavors, per a partícules esfèriques en un radi r, la Llei de Stokes és:

$\zeta =6\pi \eta r$

A on η és la viscosidad del mig. D'esta manera, la relació d'Einstein-Smoluchowski resulta en la relació de Stokes-Einstein donada per l'equació:

$D=\frac{k_{b}T}{6\pi \eta r}$

Si el cas és de difusió rotacional, la fricció del mig resulta: ζ=8πηr³ i per extensió la constant de difusió està donada per la següent variació:

$D_r=\frac{k_{b}T}{8\pi \eta r^3}$

Semiconductor

Per al cas d'un semiconductor en densitat d'estats arbitrària, la relació d'Einstein resulta:

$D=\frac{{\mu }_{q}p}{q(dp/d\eta )}$

A on η és el potencial químic de la partícula i p, la concentració de partícules.