Regla de aligación

La regla de aligación és la que nos ensenya a resoldre problemes referents de mescles i aleacions i per la qual es computa i averigua el preu comú de la mescla d'espècies de diferent valor o perfecció o la cantitat que es requerix de cada una d'elles per a compondre la mescla que es pretén a fi de reduir-les a cert preu o número.

Les matèries de que tracta esta regla són diverses com a metals, grans, licors, llanas, etc. Aixina per mig d'esta regla es poden resoldre diversos problemes, com per eixemple, el següent. Un platero té dos espècies d'or, una de 20 i una atra de 16 quilats i vol fer 24 onces d'or de 17 quilats. Es pregunta quànt ha de prendre de cada espècie per a açò.

Tipos de problemes

En les regles de aligación es poden diferenciar varis tipos de problemes, segons els valors coneguts i els que cal averiguar, podem vore els següents casos:

Conegudes les parts, averiguar el total

El cas més senzill, també conegut com a problema de aligación directa, conegudes les cantitats i la concentració o riquea de cada una d'elles, averiguar la cantitat total i el seu grau de riquea, vejam-ho en un eixemple:

Per a confeccionar un abric de llana, s'ampren distints teixits de mescla de llana i sintètic, sabent que s'ampren 1.000 g. de teixit en el 80 % de llana, 500 g. en el 40 % de llana, 400 g. en el 60 % de llana i 100 g. en el 20 % de llana. ¿Quin és el pes de l'abric confeccionat i quin és el seu percentage de llana?

Per a resoldre el problema podem sumar el pes de cada u dels teixits obtenint el pes total, la cantitat de llana que cada u dels teixits aporta és el seu pes per la seua concentració en llana, la suma d'estes aportacions donarà el total de llana en l'abric, en lo que podem calcular el percentage de llana de l'abric confeccionat. Vejam:

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{j}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{o}& & \mathrm{\%}& & \mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{a}\\ \text{HLINE TBD}1.000\mathrm{g}& \times & 80\mathrm{\%}& =& 800\mathrm{g}\\ 500\mathrm{g}& \times & 40\mathrm{\%}& =& 200\mathrm{g}\\ 400\mathrm{g}& \times & 60\mathrm{\%}& =& 240\mathrm{g}\\ 100\mathrm{g}& \times & 20\mathrm{\%}& =& 20\mathrm{g}\\ 2.000\mathrm{g}& & & =& 1.260\mathrm{g}\end{array}$

Per lo tant tenim un abric que pesa 2.000 g., i té 1.260 g. de llana, aixina que el percentage de llana de l'abric serà:

$\mathrm{\%}\text{lana}=\frac{1260g}{2000g}\mathrm{\times }\mathrm{100}\mathrm{=}\mathrm{63}\mathrm{\%}$

El resultat és un abric confeccionat en quatre tipos de teixits de llana en un pes total de 2.000 g. i el 63 % de llana.

Cantitat de les parts, per a obtindre un total

Consistix en trobar qué cantitat que deu afegir-se en la mescla de cada components, coneixent la riquea de la mescla resultant i les riquea dels components, també conegut com a problema de aligación invers, vejam també este cas en un eixemple:

Disponem de dos mescles de ciment i arena, una té el 80 per cent de ciment i l'atra el 30 per cent; ¿quines cantitats cal posar de cada una d'elles per a obtindre 120 kg. de mescla al 40 % de ciment?

Cridarem $M_{80\mathrm{\%}}$ a la massa afegida de la mescla al 80 % i $M_{30\mathrm{\%}}$ a la massa de la mescla al 30 %, el total obtingut serà $M_{40\mathrm{\%}}$, podem vore que la suma de les dos primeres masses donarà com resultat la tercera:

$M_{80\mathrm{\%}}+M_{30\mathrm{\%}}=M_{40\mathrm{\%}}$

L'aportació de ciment de les parts serà el ciment en el resultat:

$M_{80\mathrm{\%}}\cdot 0,80+M_{30\mathrm{\%}}\cdot 0,30=M_{40\mathrm{\%}}\cdot 0,40$

ademés per les senyes del problema sabem que:

$M_{40\mathrm{\%}}=120kg$

per lo tant tenim que:

$\begin{array}{ccccc}{M}_{80\mathrm{\%}}& +& M_{30\mathrm{\%}}& =& 120\mathrm{k}\mathrm{g}\\ 0,80\cdot M_{80\mathrm{\%}}& +& 0,30\cdot M_{30\mathrm{\%}}& =& 0,40\cdot 120\mathrm{k}\mathrm{g}\end{array}\}$

que és equivalent a:

$\begin{array}{ccccc}{M}_{80\mathrm{\%}}& +& M_{30\mathrm{\%}}& =& 120\mathrm{k}\mathrm{g}\\ 80\cdot M_{80\mathrm{\%}}& +& 30\cdot M_{30\mathrm{\%}}& =& 40\cdot 120\mathrm{k}\mathrm{g}\end{array}\}$

Resolent este sistema de dos equacions en dos incògnites tenim:

$\{\begin{array}{ccc}{M}_{80\mathrm{\%}}& =& 24\mathrm{k}\mathrm{g}\\ M_{30\mathrm{\%}}& =& 96\mathrm{k}\mathrm{g}\end{array}$

Mesclant 24 kg en el 80 % de ciment, en 96 kg de 30 %, obtindrem 120 kg en el 40 % de ciment.

Una de les parts desconeguda

En realisar una mescla en vàries parts, totes conegudes menys una de la que es desconeix tant la cantitat com la riquea, per a donar un total que si es coneix, en este cas lo que cal averiguar és la cantitat i la riquea del component desconegut, ho veem en un eixemple:

Un orfebre fon en un cresol: 500 g d'or de 15 quilats, 300 g de 20 quilats, més un medallón també d'or, obtenint com resultat un lingot de 900 g de 17 quilats. ¿Quànt pesava el medallón i de quants quilats era?

Cridarem m a la massa del medallón en grams i r a la riquea del medallón en quilats, aixina podem vore que la suma de masses permaneix constant:

$\text{500g + 300g}+m=900\mathrm{g}$

D'ací podem calcular m:

$m=\mathrm{900}\mathrm{g}\mathrm{-}\mathrm{500}\mathrm{g}\mathrm{-}\mathrm{300}\mathrm{g}$

açò és:

$m=100\mathrm{g}$

la massa del medallón és 100 grams.

L'or de l'aleació també permaneix constant:

$500\cdot \frac{15}{24}+300\cdot \frac{20}{24}+m\cdot \frac{r}{24}=900\cdot \frac{17}{24}$

que és equivalent a:

$500\cdot 15+300\cdot 20+m\cdot r=900\cdot 17$

Operant l'equació:

$m\cdot r=900\cdot 17-500\cdot 15-300\cdot 20$

Ya que la massa m ya la tenim calculada:

$r=\frac{900\cdot 17-500\cdot 15-300\cdot 20}{100}$

$r=18$

Després el medallón d'or pesava 100g i era de 18 quilats.

Tipos de problemes, cas general

Les regles de aligación són d'aplicació a les mescles de distints components, independentment de la naturalea d'eixos components, com s'ha pogut vore en la secció anterior, pero sempre s'establixen dos regles: la conservació de la massa total i la massa dels components. Aixina per a un cas general en n elements a mesclar, cada u dels quals té una massa m, i una riquea r, donant lloc a una mescla de massa M i riquea R, podem vore que:

$M=\sum _{i=1}^n{m}_i$

$MR=\sum _{i=1}^n(m_i{r}_i)$

Segons els valors coneguts i les valores per determinar, i estes dos equacions, s'afronten els distints tipos de problemes de les regles de aligación.

Vore també

• Mescla
• Aleació
• Concentració
• Llei (purea)
  • Percentage
  • Quilat

Bibliografia

• (2001) «45», Enciclopèdia Álvarez: Iniciació Professional (en espanyol), EDAF, pp. 394. ISBN 9788441410008.

• Dubta, Walter (1977). Manual tecnològic del ciment (en espanyol), TECNICOS ASOCIADOS SA. ISBN 9788471460950.

• Bails, Benito (1890). Imprenta de la viuda d'Ibarra (ed.). Aritmètica per a negociantes (en espanyol).

• García (1794). 2 (ed.). Elements d'aritmètica, àlgebra i geometria (en espanyol), pp. 134.