Regla de Toom

Entorn de l'autómata celular de Toom

La regla de Toom és un model d'autómata celular bidimensional creat per Andréi Toom en 1978. És una modificació de la regla de votació majoritària bidimensional i pot tindre una memòria més robusta quan es considera com un sistema físic tèrmic en la teoria estadística de camps. El model també té una transició de fase depenent del soroll.

Declaració

Animació de la regla de Toom. Les llínees negres representen les parets del domini entre els girs cap a dalt i els girs cap a avall

La regla de Toom és un autómata celular que actua sobre una ret quadrada bidimensional. En cada nodo d'esta ret hi ha un espin en valor +1 o -1. En l'instant $t=0$, els bits es inicializan en algun valor. En cada pas de temps discret $(t>0)$, la ret evoluciona segons la regla de Toom. Esta regla s'aplica simultàneament en cada punt.

Una versió determinista de la regla de Toom es pot enunciar com:

1. En cada lloc de la ret, si la suma de l'espin del lloc actual (central) més l'espin del veí al nort més l'espin del veí a l'est és major que 0, llavors l'espin actual es convertix en +1 en el següent pas de temps.

1. Si esta suma és menor que 0, llavors l'espin actual es convertix en -1 en el següent pas de temps. Com hi ha 3 espin, la suma mai pot ser igual a 0.

La regla de Toom a voltes es denomina regla NEC, ya que involucra els llocs Nort, Est i Central.

La versió general de la regla de Toom és provabilística i es pot enunciar com:

1. Aplicar la versió determinista de la regla de Toom.
2. Si el pas 1 resulta en un espin de +1, canvie-ho a -1 en provabilitat q. De lo contrari, si el pas 2 resulta en un espin de -1, canvie-ho a +1 en provabilitat p.

La versió determinista es pot recuperar establint p=q=0.

La regla de Toom és un eixemple d'autómata celular provabilístic (vore autómates celulars estocàstics), definit en la ret ${\mathbb{Z}}^2$.

Propietats

Quan $p\ne q$, el sistema tendirà a favorir un espin sobre l'atre, lo que pot interpretar-se com l'efecte d'un camp magnètic.

El model té una transició de fase. Per a valors de p i q suficientment baixos, existixen a lo manco dos estats estacionarios, pero per a valors de p i q suficientment alts, existix un únic estat estacionario. Açò es demostra en l'artícul original de Toom.

Quan p=q=0, existix un estat estacionario en un interfaç escalonat entre els espin +1 i -1. Quan p i q són menuts, es produïxen fluctuacions en este interfaç. S'han desenrollat models adicionals per a estudiar la dinàmica de l'interfaç com una configuració de espin unidimensional (en ${\mathbb{Z}}_{+}$).

${\lambda }_{+}$ es definix com la taxa (provabilitat) de que cada espin +1 intercanvie la seua posició en el primer espin -1 a la seua dreta. La taxa ${\lambda }_{-}$ es definix de forma similar. Es pot simplificar encara més considerant que solament l'espin més a l'esquerra en un bloc (de espin idèntics) intercanvia la seua posició en el primer espin opost a la seua dreta. Ademés, el primer espin pot invertir la seua posició independentment en una provabilitat $\alpha$. Este model unidimensional també es coneix com la regla de Toom.

En estudiar l'estat estacionario a on

${\lambda }_{+}={\lambda }_{-}=\alpha$

, la densitat del sitie n (el valor esperat del sitie n) seguix la llei d'escala:

$⟨{\sigma }_n⟩\sim \frac{1}{2\sqrt{\pi n}}$

. També es pot definir una versió finita d'esta regla de Toom unidimensional a on hi ha L llocs (model d'interfaç finita). El -1 més a l'esquerra en un bloc s'intercanvia en el primer +1 a la dreta en provabilitat

$\alpha$

, i el +1 més a l'esquerra en un bloc s'intercanvia en el primer -1 a la dreta en provabilitat

$\beta$

. En este model, hi ha o espin cap a dalt i d espin cap a avall, a on o+d=L. També hi ha

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{L}{u})$

configuracions dels L llocs.

Per a esta regla de Toom finita, es poden calcular les funciones de correlació, la funció de partició i la matriu estocàstica, aixina com les seues autovalores. S'ha demostrat que quan $\alpha =\beta$ i n < L és gran, la funció de densitat seguix la mateixa llei de l'invers del quadrat que l'anterior: $⟨{\sigma }_n⟩\sim \frac{1}{2\sqrt{\pi n}}$.

Quan $\alpha \ne \beta$, es conjectura que la densitat decau com 1/n:.