Quadrat llatí

Archiu:Magic latin square.png

Quadrat llatí

Archiu:Fisher-stainedglass-gonville-caius.jpg

El vitral en el saló menjador del Gonville i Caius College, en Cambridge, Anglaterra, commemorant a Ronald Fisher i representant un Quadrat llatí, discutit per ell en The Design of Experiments

Un quadrat llatí és una matriu de n×n elements en la que cada casella està ocupada per un dels n símbols de tal modo que cada u d'ells apareix exactament una volta en cada columna i en cada fila.

Les següents matrius són quadrats llatins:

$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\\ 3& 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}a& b& d& c\\ b& c& a& d\\ c& d& b& a\\ d& a& c& b\end{array}\right]$

Els quadrats llatins es donen com una taula de multiplicar empleades per a operar en els cuasigrupos i que són aplicables per a l'elaboració d'experiments numèrics.

Història i terminologia

El nom quadrat llatí s'origina en Leonhard Euler, qui va utilisar caràcters llatins com a símbols.

Un quadrat llatí es diu que està reduït (o "normalisat" o "de forma estandardisada") si la primera fila i la primera columna estan en orde natural. Per eixemple, el primer quadrat està reduït, perque la primera fila i la primera columna són 1, 2, 3.

És possible fer un quadrat llatí permutant (reordenando) les files i les columnes.

Representació a través d'un apany ortogonal

Si cada entrada d'un quadrat llatí de n × n s'escriu com una tripleta (f, c, s), a on f és la fila, c la columna i s el símbol (per al nostre cas un número), s'obtindran n² tripletas, cridat apany ortogonal del quadrat. Per eixemple, per al primer quadrat llatí de tots estos eixemples, l'apany ortogonal serà aixina:

{ (1,1,1),(1,2,2),(1,3,3),(2,1,2),(2,2,3),(2,3,1),(3,1,3),(3,2,1),(3,3,2) },

a on, per eixemple, la tripleta (2,3,1) representa que el valor en la fila 2 columna 3 és 1. La representació d'un quadrat llatí pot escriure's en térmens de l'apany ortogonal, i queda aixina:

• existixen n² tripletas de la forma (f, c, s), a on 1 ≤ f, c, s ≤ n;
• tots els parells (f, c) són diferents, tots els parells (f, s) són diferents, i tots els parells (c, s) són diferents.

La representació per apanys ortogonals mostra que les files, columnes i símbols representen un paper molt similar.

Vore també

• Quadrat grecolatino
• Quadrat màgic
• Sudoku