Propietat del producte zero

En àlgebra, la propietat del producte zero afirma que si el producte de dos número real és zero, llavors a lo manco un dels dos factors és zero. Expressat en fòrmula, açò és:

$ab=0\Rightarrow a=0\vee b=0$

Este concepte es pot generalisar en l'àlgebra abstracta, en la teoria d'anells, en un enunciat casi igual, a on zero s'entendrà com el zero de l'anell. Un anell para el que esta llei és vàlida és el que es coneix com domini d'integritat.

És possible demostrar que la propietat del producte zero es verifica en seguritat en els cossos no conmutativos, en virtut de l'existència del element invers sobre el producte per a tot element distint de 0.

Demostració

És absurt assumir que existixca un parell d'elements $x,y$ pertanyents a un cos $K$ abdós diferents de zero, tal que $x\cdot y=0$.

Multiplicant abdós costats de l'equació per l'element invers de $x$ i aplicant la propietat del cos s'obté:

$x^{-1}\cdot x\cdot y=x^{-1}\cdot 0.$

ya que en un cos:

$a\cdot 0=0,$

de fet

$a\cdot 0=a\cdot (0+0)=a\cdot 0+a\cdot 0$

per lo tant, segons la propietat del producte zero es té:

$a\cdot 0=0$

i per tant:

$1\cdot y=0$

$y=0$

la qual cosa contradiu la hipòtesis de que abdós elements foren diferents de zero.

Vore també

• Teorema fonamental de l'àlgebra
• Divisor de zero
• Ideal primer