Problema de Riemann

Un problema de Riemann», que du el nom de Bernhard Riemann, és un problema de valor inicial específic compost per una equació de conservació junt en senyes inicials constants per trams que presenten una única discontinuïtat en el domini d'interés. El problema de Riemann és molt útil per a comprendre equacions com les equacions de conservació de Euler, ya que totes les propietats, com els chocs i les ones de rarefacció, apareixen com característiques en la solució. També proporciona una solució exacta a algunes equacions no llineals complexes, com les equacions de Euler.

En anàlisis numèric, els problemes de Riemann apareixen de forma natural en els método dels volums finitos per a la resolució d'equacions de lleis de conservació per la discreció de la malla. Per això, s'utilisen àmpliament en simulacions de dinàmica de decorreguts computacional i de magnetohidrodinámica computacional. En estos camps, els problemes de Riemann es calculen utilisant solucionadores de Riemann.

El problema de Riemann en la dinàmica de gasos linealizada

A modo d'eixemple senzill, analisem les propietats del problema de Riemann unidimensional en dinàmica de gasos (Bou, Eleuterio F. (1999). Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluïu Dynamics, pág. 44, eixemple 2.5)

Les condicions inicials vénen donades per

$\left[\begin{array}{c}\rho \\ u\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\rho }_L\\ u_L\end{array}\right]\text{ para }x\le 0\text{y}\left[\begin{array}{c}\rho \\ u\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\rho }_R\\ u_R\end{array}\right]\text{ para }x>0$

a on «x» = 0 separa dos estats diferents, junt en les equacions llineals de la dinàmica de gasos (vore dinàmica de gasos per a la derivació).

$\begin{array}{cc}\frac{\partial \rho }{\partial t}+{\rho }_0\frac{\partial u}{\partial x}& =0\\ \frac{\partial u}{\partial t}+\frac{a^2}{{\rho }_0}\frac{\partial \rho }{\partial x}& =0\end{array}$

a on podem supondre, sense pèrdua de generalitat, que $a\ge 0$. Ara podem reescriure les equacions anteriors en forma conservativa:

$U_t+A\cdot U_x=0$:

a on

$U=\left[\begin{array}{c}\rho \\ u\end{array}\right],A=\left[\begin{array}{cc}0& {\rho }_0\\ \frac{a^2}{{\rho }_0}& 0\end{array}\right]$

i l'índex denota la derivada parcial sobre la variable corresponent (és dir, x o t).

Els valors propis del sistema són les característiques del sistema ${\lambda }_1=-a,{\lambda }_2=a$. Estos donen la velocitat de propagació del mig, inclosa la de qualsevol discontinuidad, que en este cas és la velocitat del sò. Els vectores propis corresponents són

${𝐞}^{(1)}=\left[\begin{array}{c}{\rho }_0\\ -a\end{array}\right],{𝐞}^{(2)}=\left[\begin{array}{c}{\rho }_0\\ a\end{array}\right].$

En descompondre l'estat esquerre $u_L$ en térmens dels vectores propis, obtenim per a alguns ${\alpha }_1,{\alpha }_2$

$U_L=\left[\begin{array}{c}{\rho }_L\\ u_L\end{array}\right]={\alpha }_1{𝐞}^{(1)}+{\alpha }_2{𝐞}^{(2)}.$

Ara podem resoldre ${\alpha }_1$ i ${\alpha }_2$:

$\begin{array}{cc}{\alpha }_1& =\frac{a{\rho }_L-{\rho }_0{u}_L}{2a{\rho }_0}\\ {\alpha }_2& =\frac{a{\rho }_L+{\rho }_0{u}_L}{2a{\rho }_0}\end{array}$

De forma anàloga

$U_R=\left[\begin{array}{c}{\rho }_R\\ u_R\end{array}\right]={\beta }_1{𝐞}^{(1)}+{\beta }_2{𝐞}^{(2)}$

para

$\begin{array}{cc}{\beta }_1& =\frac{a{\rho }_R-{\rho }_0{u}_R}{2a{\rho }_0}\\ {\beta }_2& =\frac{a{\rho }_R+{\rho }_0{u}_R}{2a{\rho }_0}\end{array}$

Utilisant açò, en el domini comprés entre les dos característiques $t=|x|/a$, obtenim la solució constant final:

$U_{*}=\left[\begin{array}{c}{\rho }_{*}\\ u_{*}\end{array}\right]={\beta }_1{𝐞}^{(1)}+{\alpha }_2{𝐞}^{(2)}={\beta }_1\left[\begin{array}{c}{\rho }_0\\ -a\end{array}\right]+{\alpha }_2\left[\begin{array}{c}{\rho }_0\\ a\end{array}\right]$

i la solució (constant per trams) en tot el domini $t>0$:

$U(t,x)=\left[\begin{array}{c}\rho (t,x)\\ u(t,x)\end{array}\right]=\{\begin{array}{cc}{U}_L,& 0<t\le -x/a\\ U_{*},& 0\le |x|/a<t\\ U_R,& 0<t\le x/a\end{array}$

Encara que es tracta d'un eixemple senzill, mostra les propietats bàsiques. En particular, les característiques descomponen la solució en tres dominis. La velocitat de propagació d'estes dos equacions és equivalent a la velocitat de propagació del sò.

La característica més ràpida definix la condició de Courant–Friedrichs–Lewy (CFL), que establix la restricció per al pas de temps màxim per al que un método numèric explícit és estable. Per lo general, quantes més equacions de conservació s'utilisen, més característiques intervenen.

Referències

• Bou, Eleuterio F. (1999). Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluïu Dynamics, Berlin: Springer Verlag. ISBN 3-540-65966-8.
• LeVeque, Randall J. (2004). Finite-Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-81087-6.

Vore també

• Fluidodinámica computacional
• Magnetohidrodinámica computacional
• Solucionador de Riemann