Problema de Minkowski

En geometria diferencial, el problema de Minkowski, cridat aixina en honor a Hermann Minkowski, atañer a l'existència d'una hipersuperficie compacta estrictament convexa S que la seua curvatura gaussiana estiga prescrita per una funció positiva en l'esfera. Més precisament, l'entrada al problema és una funció real prescrita de classe infinit, estrictament positiva ƒ . La varietat buscada deu tindre curvatura gaussiana ƒ ( n ( x )) en el punt de l'esfera x, a on n ( x ) denota la normal unitària a S en x . Eugenio Calabi va afirmar: "Des del punt de vista geomètric, [el problema de Minkowski] és la Pedra Rosetta, a partir de la qual es poden resoldre varis problemes relacionats."

En tota generalitat, el problema de Minkowski demana condicions necessàries i suficients sobre una mida de Borel no negativa en l'esfera unitària S ^n-1 per a que siga la mida de l'àrea superficial d'un cos convexo en ${ℝ}^n$. Ací, la mida de l'àrea superficial S _K d'un cos convexo K és el pushforward de la mida de Hausdorff (n-1) dimensional restringida a la vora topològica de K per mig de l'aplicació de Gauss . El problema de Minkowski va ser resolt per Hermann Minkowski, Aleksandr Danilovich Aleksandrov, Werner Fenchel i Børge Jessen: una mida de Borel μ en l'esfera unitària és la mida de l'àrea superficial d'un cos convexo si i solament si μ té el seu centroide en l'orige i no està concentrada en una subesfera maximal.

A pesar del seu clar orige geomètric, el problema de Minkowski, apareix en moltes atres àrees i disciplines científiques. Com a eixemple, el problema de la radiolocalización es reduïx fàcilment al problema de Minkowski en l'espai euclidiano tridimensional. El problema invers de la difracció d'ona curta, també es reduïx al problema de Minkowski. Ademés, el problema de Minkowski és la base de la teoria matemàtica de la difracció, aixina com de la teoria física de la difracció.

En 1953, Louis Nirenberg va publicar les solucions de dos problemes oberts des de feya décades: el problema de Weyl i el problema de Minkowski en l'espai euclidiano tridimensional. La solució de L. Nirenberg al problema de Minkowski va supondre una fita en la geometria diferencial global. Va ser seleccionat com el primer guardonat de la Medalla Chern (en 2010) pel seu paper en la formulació de la teoria moderna d'equacions diferencials parcials elíptiques no llineals, en particular per resoldre els problemes ya mencionats: el de Weyl i el problema de Minkowski en l'espai euclidiano tridimensional.

Pogorelov va resoldre el problema de Weyl en varietats riemannianas en 1969.

En un lluent artícul publicat en 1976, el treball conjunt del archiconocido geómetra diferencial Shing-Tung Yau en Shiu-Yuen Cheng, alumne de Chern, va proporcionar per fi una demostració completa del problema de Minkowski de dimensions superiors en espais euclidianos. La demostració de Yau i Cheng ampra el método de continuïtat: els raonaments geomètrics, recolzats per la potència de la teoria elíptica, produïxen una camí homotópico des de l'esfera fins a la solució del problema.

Shing-Tung Yau va rebre la Medalla Fields en el Congrés Internacional de Matemàtics de Varsòvia en 1982 pel seu treball en geometria diferencial global i equacions diferencials parcials elíptiques, en particular per resoldre problemes tan difícils com la conjectura de Calabi de 1954 i un problema d'Hermann Minkowski en espais euclidianos relatiu al problema de Dirichlet per a l'equació real de Monge-Ampère.

En geometria diferencial, existixen diversos problemes relacionats en este que seguixen oberts. Un dels més importants és el problema de Christoffel-Minkowski, a on se substituïx al determinant de les curvatura principals per un polinomi elemental simètric de grau k, actuant sobre els radis de curvatura principals de la varietat. Actualment es coneixen condicions suficients per a l'existència de solució, encara que es desconeix si són també necessàries. També hi ha un atre tipo de generalisacions a varietats en vora o en atres espais ambiente, desenrollades recentment en el cas capilar.