Principi de Harnack

El principi de Harnack, o segon teorma de Harnack, és un teorema bàsic de la branca matemàtica de la teoria de funcions. El matemàtic Axel Harnack (1851-1888) de nou, que ha presentat este conjunt en una obra de l'any 1886. El principi de Harnack tracta del comportament de convergència de seqüències monòtonament creixents de funcions harmòniques. Es basa en la desigualtat de Harnack del mateix autor.

Formulació del principi en el cas complex clàssic

Dau és una cantitat oberta $D\subset ℂ$ i un resultat $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ funcions harmòniques $u_n:D\to ℝ$ $(n\in \mathbb{N})$, que creix monòtonament punt per punt:

$u_1(z)\le u_2(z)\le \mathrm{...}$   $(z\in D)$

Ser para $z\in D$

$u(z)=\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }{u}_n(z)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n(z)$  

Alvance

$D_0=\{z\in D:u(z)<\mathrm{\infty }\}$  

i

$D_1=\{z\in D:u(z)=\mathrm{\infty }\}$  

Llavors:

(1) Abdós $u$   també $D_1$ estan oberts i bloquejats en $D$  .

(2) En cas que $D$ un àrea de $ℂ$ és, és o és sempre $u(z)=\mathrm{\infty }$ per a $z\in D$, o sempre $u(z)<\mathrm{\infty }$ per a $z\in D$. ,

(3) És $D$ un àrea de $ℂ$ i aplica $u(z_0)<\mathrm{\infty }$ per a un $z_0\in D$, la seqüència de funcions és localment uniformemente convergent i la funció llímit $u$   és també una funció harmònica.

Generalisació a dimensions més altes

Com el propi Axel Harnack sugerix, el principi corresponent en una formulació molt similar també s'aplica al cas de les funcions harmòniques en conjunts oberts de la ${ℝ}^n$ , Ací la prova es basa en la versió n-dimensional de la desigualtat de Harnack.