Principi d'energia mínima

El principi d'energia mínima és essencialment la segona llei de la termodinàmica. Declara que per a un sistema tancat, en paràmetros externs constants i entropía, l'energia interna disminuirà i el seu valor serà propenc al mínim en l'equilibri.

En contrast, la segona llei declara que per a sistemes aïllats, (i paràmetros externs fixos) l'entropía aumentarà a un valor màxim en equilibri. Un sistema aïllat té una energia total fixa i massa. Un sistema tancat, per un atre costat, és un sistema qué està conectat a un atre sistema, i pot intercanviar energia, pero no concentrar, en l'atre sistema. Si, més que un sistema aïllat, tenim un sistema tancat, llavors seguix del primer i segones lleis de termodinàmiques que l'energia d'aquell sistema caurà a un valor mínim en equilibri, transferint la seua energia a l'atre sistema. Per a reafirmar:

• El principi d'entropía màxim: Per a un sistema tancat en energia interna fixa (i.i. un sistema aïllat), la entropía és maximizar en equilibri.

• El principi d'energia mínim: Per a un sistema tancat en entropía fixa, la energia total està minimisada en equilibri.

Açò no tindria que ser confòs en el principi d'energia potencial total mínim quin estats que, en equilibri, l'energia potencial total d'un sistema en malbarat serà en un mínim, el qual és un cas especial del principi d'entropía màxim.

Quan un eixemple, considerar l'eixemple familiar d'un marbre en la vora d'un bol, Si considerem el marbre i bol per a ser un sistema aïllat, llavors quàn les gotes de marbre, l'energia potencial serà convertida a energia cinètica  de moviment del marbre. Les forces fricciona els convertiran este energia cinètica per a calfar, i en equilibri, el marbre serà en restant en el fondo del bol, i el marbre i el bol seran en una temperatura llaugerament més alta. L'energia total del marbre-sistema de bol serà sense canvis. Qué era anteriorment l'energia potencial del marbre, ara residirà en l'energia de calor aumentada del marbre-sistema de bol. Açò serà una aplicació del principi d'entropía màxim quan posat alvance en el principi d'energia potencial mínima, des de llavors pels efectes de calefacció, la entropía ha aumentat al valor màxim possible donat l'energia fixa del sistema.

Si, per un atre costat, el marbre està baixat molt espai fins a avall del bol, tan espai que cap efectes de calefacció ocorren (és dir, de forma reversible), llavors la entropía del marbre i el bol quedaran constants, i l'energia potencial del marbre serà transferida tan energia de treball a l'aparat que està baixant el marbre. Des de l'energia potencial és ara en un mínim sense aument en l'energia per calor de qualsevol el marbre o el bol, l'energia total del sistema és en un mínim. Açò és una aplicació del principi d'energia mínima.

Explicació matemàtica

L'energia total del sistema és a on S és entropía, i l'és els atres paràmetros extensos del sistema (p. eix. volum, número de partícula, etc.$U(S,X_1,X_2,\dots )$$X_i$). La entropía del sistema aixina mateix pot ser escrit com a funció dels atres paràmetros extensos quan .$S(U,X_1,X_2,\mathrm{...})$ Supondre que X és un del quin varia com a equilibri d'aproximacions del sistema, i que és el sol tal paràmetro qué està variant.$X_i$ El principi de la entropía màxima llavors pot ser declarada quan:

     I           en equilibri.${\left(\frac{\partial S}{\partial X}\right)}_U=0$${\left(\frac{{\partial }^{2}S}{\partial X^2}\right)}_U<0$

La primera condició declara que la entropía és en un extremum, i la segona condició declara que la entropía és en un màxim. Notar qoi para los derivats parcials, tot els paràmetros ixtensos estan suposts constant llevat les variables varen contindre en el derivat parcial, pero únic O, S, o X està mostrat. Seguix de les propietats d'un diferencial exacte (vés equació 8 en l'artícul diferencial exacte) i de l'equació/d'entropía de l'energia d'estatal que, per a un sistema tancat:

${\left(\frac{\partial U}{\partial X}\right)}_S=-\frac{{\left(\frac{\partial S}{\partial X}\right)}_U}{{\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)}_X}=-T{\left(\frac{\partial S}{\partial X}\right)}_U=0$

Està vist que l'energia és en un extremum en equilibri. Per similar pero una miqueta argument més llarc puga ser mostrat que

${\left(\frac{{\partial }^{2}U}{\partial X^2}\right)}_S=-T{\left(\frac{{\partial }^{2}S}{\partial X^2}\right)}_U$

Quin és més gran que zero, mostrant que l'energia és, de fet, en un mínim. (Veu Callen (1985) capítul 5).

Un eixemple

Supondre tenim un cilindre que conté un gas ideal, en creuar sectional àrea Un i una altura variable x. Supondre que un pes de mtorra m ha segut colocat dalt del cilindre. Pulsa avall en la part superior del cilindre en una força de mg a on g és l'acceleració per gravetat.

Supondre que x és més chicotet que el seu valor d'equilibri. La força ascendent del gas és més gran que la força descendent del pes, i si deixat a lliurement moviment, el gas en el cilindre espentaria el pes dalt ràpidament, i hi hauria forces friccionals que convertiria l'energia per a calfar. Si especifiquem que un agent extern pulsa avall en el pes a l'objecte de molt espai (reversibly) deixa el pes per a moure dalt a la seua posició d'equilibri, llavors no hi haurà cap calor generada i la entropía del sistema quedarà constant mentres l'energia està transferida tan treball a l'agent extern. L'energia total del sistema en qualsevol valor de x està donat per l'energia interna del gas més l'energia potencial del pes:

$U=TS-PAx+\mu N+mgx$

a on T Is temperatura, S és intropía, P és pressió, &x3BC; és el potencial químic, N és el número de partícules en el gas, i el volum ha segut escrit quan V=Astral. Des del sistema està tancat, el número de partícula N és constant i un canvi chicotet en l'energia del sistema seria donada per:

Des de la entropía és constant, podem dir que dS=0 en equilibri i pel principi d'energia mínima, podem dir que dU=0 en equilibri, cedint la condició d'equilibri:

$0=-PA+mg$

Quin senzillament declara que la força de pressió gasiste ascendent (PA) en la cara superior del cilindre és igual a la força descendent de la massa per gravitació (mg).

Referències

• Callen (1985). Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics, 2nd Ed. edició, New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-86256-8.