Orde d'evaluació

Archiu:Order of operations.svg

Orde de les operacions

La prioritat de les operacions (també cridada jerarquia d'operacions) referix al conjunt de convencions que regulen el orde en que una calculadora o un sistema evaluarà una operació en una expressió combinada que continga dos o més operadors.
És precisa esta informació per a validar la coincidència en el resultat pertinent concorde a les propietats matemàtiques i, sobretot, per a ingressar les expressions de les operacions en la notació algebraica adequada.

Les convencions per a l'eixecució de la majoria dels sistemes establixen que:

1. lo tancat entre signes d'agrupació (claus, paréntesis o corchetes) té prioritat respecte de lo exterior. La llínea horisontal que separa un numerador d'un denominador o el signe de radicació complixen el mateix rol que els paréntesis;
2. l'exponenciación precedix a la multiplicació, la divisió, la suma o la resta;

En aplicacions o sistemes informàtics el orde d'operacions aclarix de forma precisa, la seqüència de procediments del càlcul en determinada expressió matemàtica en dos o més operadors.

Com en matemàtiques i en la majoria dels llenguages de programació, la multiplicació té precedència respecte de l'adició, en expressions com per eixemple, 2 + 3 × 4, la resposta és 14 ya que 2 se sumixca al resultat de 3 x 4.
Els paréntesis o corchetes poden amprar-se per a evitar confusions, per lo que seria redundante anotar l'expressió anterior com 2 + (3 × 4) i sí imprescindible plantejar-la com (2 + 3) × 4 si fora la suma un dels factors del producte.

Des de l'introducció de la notació algebraica, la multiplicació té precedència sobre la suma qualsevol que siga el costat del número a on aparega.
Per lo tant 3 + 4 × 5 = 4 × 5 + 3 = 23.
Els exponents tenen precedència sobre les multiplicacions i les sumes, i tindran que ser colocats únicament com superíndex a la dreta de la seua base. Per a canviar l'orde de les operacions s'utilisen paréntesis.
Per lo tant, per a forçar la precedència de l'adició respecte de la multiplicació, l'expressió s'anotaria com (2 + 3) × 4 =20, i per a la precedència de l'adició respecte de l'exponenciación, aixina: (3 + 5)² = 64.

L'orde i les propietats de les operacions

Les propietats conmutativa i associativa de la suma i la multiplicació permeten als térmens ser sumats en qualsevol orde i aixina mateix als factors a ser multiplicats (de fet, és un lloc comú l'expressió l'orde dels factors no altera al producte). En les operacions mixtes, és clau la separació en térmens per a distinguir-los, previ a tota evaluació de precedència.

És útil tractar la divisió com la multiplicació pel recíproc (invers multiplicativo) i la resta com la suma de l'opost (invers aditiu). Aixina, 3 / 4 = 3 ÷ 4 = 3 • ¼, és dir el cocient entre 3 i 4 és igual al producte de 3 i ¼.
També 3 – 4 = 3 + (–4), és dir la diferència de 3 i 4 és igual a la suma del 3 positiu i el 4 negatiu. En este raonament, es pot pensar 1 – 2 + 3 com la suma d'1, 2 negatiu, i 3, i sumar-la en qualsevol orde: (1 – 2) + 3 = – 1 + 3 = 2 i en orde invers (3 – 2) + 1 = 1 + 1 = 2. Lo important és mantindre el signe negatiu en el 2.

El símbol de la radicació, √, deu estendre's a lo llarc de tot el radicant. El símbol habitual de l'agrupació és una barra horisontal (cridada vinculum) sobre el radicant.

Els símbols d'agrupació es poden utilisar per a modificar l'orde habitual de les operacions.
Lo agrupat pels símbols corresponents, pot ser tractats com una única expressió.
Els símbols d'agrupació es poden eliminar apelant a la propietat distributiva.

En la potència d'una potència a certa base, s'eleva tal base al producte dels exponents. Front al producte de dos o més potències d'igual base, s'eleva tal base a la suma dels exponents i si es tractara d'un cocient, a la resta dels exponents respectius. Sobre l'indicació d'efectuar potències "des de dalt cap a avall", és la que correspon a les exponenciaciones successives.

El signe fraccionario per a dividir

Plantejar correctament una divisió dins d'una expressió composta, exigix màxima precisió i claritat; es requerix l'ocupació de la llínea horisontal pròpia de les fraccions per a evitar qualsevol ambigüitat.
En casos en que la divisió siga part d'una expressió complexa, convé evitar l'ocupació de signes com / o : i d'apelar-se a ells, deuen incloure's paréntesis, corchetes i claus per a distinguir inequívocament al divident del divisor.
Pot optar-se per establir el cocient recorrent al producte de l'invers.
Les alternatives s'evidencien en el següent eixemple en que la tercera formulació és indubtablement la més llegible.

Tres formulació

Tres formulació

La legibilidad evita la multiplicitat de debats respecte del resultat de lo que senzillament està plantejat en ambigüitat i no es resol apelant a propietats matemàtiques (menys encara a regles nemotécnicas) sino a una formulació adequada de lo que es procura calcular.

Exponenciaciones successives

Si la notació en una exponenciación presenta una successió apilada de superíndexs, la regla usual és operar de dalt cap a avall: a^bc = a^(bc) que no és lo mateix que (a^b)^c.

No obstant, quan l'operador s'expressa en una notació d'un caret (^) o una flecha (↑), no hi ha una convenció universalment establida.
Per eixemple, en el llenguage de programació MATLAB s'evalua a^b^c com (a^b)^c, pero para WolframAlpha seria a^(bc). Aixina, 4^3^2 s'evaluaria donant per resultat 4096 en el primer cas i 262144 en el segon.

Potència d'un negatiu

Segons les convencions d'anotacions matemàtiques, expressions com −3² s'interpreten com 0 − (3²) = − 9.

En algunes aplicacions i llenguages de programació, com les de les planillas de càlcul, i programes com el bc, l'exponent s'aplica incloent el signe negatiu i −3² s'interpreta com (−3)² = 9.
No obstant, quan el signe menys separa una operació binaria en lloc d'identificar un número com a negatiu, l'interpretació canvia.
Aixina, en una planilla, fòrmules com =−2^2, =-(2)^2 i =0+−2^2 donen per resultat 4, mentres les fòrmules =0−2^2 o =−(2^2) donen −4.

Signes i Símbols

Eixemples

$\sqrt{1+3}+5=\sqrt{4}+5=2+5=7.$

Una llínea horisontal que en les fraccions separa al numerador del denominador, també actua com un símbol de separació i agrupació:

$\frac{1+2}{3+4}+5=\frac{3}{7}+5.$

Per a facilitar la llectura, uns atres símbols d'agrupació, tals com a claus {}, o corchetes [], solen utilisar-se junt en el paréntesis (). Per eixemple,

$[(1+2)-3]-(4-5)=[3-3]-(-1)=1.$

Mnemotecnias en acrònim d'evaluació de les calculadores

S'han desenrollat varis acrònim per a ajudar a recordar l'orde en que la majoria de les calculadores evaluen les operacions tal com li les ingressa.
És crucial considerar que estes recomanacions mnemotècniques permeten analisar i comprendre la correlació entre lo ingressat a una calculadora (o una atra) en el resultat obtingut, máxime quan la formulació evidencia cert grau d'ambigüitat.
Més allà de situacions de notació ambigua i revisió de resultats de les calculadores, per a resoldre operacions combinades lo crucial és la separació en térmens sent pertinents totes les estratègies vàlides concordants en les propietats de les operacions.
Estes mnemotècniques poden ser enganyoses: poden promoure creències que duen a eludir la separació en térmens en una operació combinada i el seu émfasis en el "orde", deixar de costat estratègies i obviar les propietats de les operacions.
Si alguna mnemotècnica per a les calculadores referix a operar d'esquerra a dreta, cal emfatisar l'alcanç d'esta recomanació (evaluar cóm operen les calculadores) per a evitar que desdibuixe tant la propietat conmutativa com les asseveracions bàsiques com la popular que resa: "l'orde dels factors no altera el producte".
Un eixemple va cobrar recent popularisació viral en relació en una operació de la que sorgien dos resultats diferents segons la calculadora empleada: l'ambigüitat de la seua notació, no obstant, se suplix apelant a les indiscutibles propietats de les operacions.
Cap, llavors, ingressar l'expressió en notació pertinent al modo en que l'evaluarà cada calculadora..
L'eixemple és 6÷2(2+1) o una atra operació l'estructura algebraica de la qual a÷b(c+d) sembla posar en qüestió si el factor a distribuir en la suma englobada entre paréntesis és b deixant al cocient establit com a÷(bc+bd) o a÷b en el cas de la qual resultaria (a÷b)c+(a÷b)d.
El signe ÷ entre a (o el valor que anara) i la subsegüent expressió, sembla ser el quid de la qüestió. Si en lloc d'amprar el signe ÷ es plantejara: $\frac{a}{b}(c+d)$ o $\frac{a}{b(c+d)}$ apareixeria en claritat quin és el factor a distribuir.
Mentres en $\frac{a}{b}(c+d)$ el factor a distribuir és clarament $\frac{a}{b}$ i en $\frac{a}{b(c+d)}$ és inequívocament b, cal develar que és b en a÷b(c+d)^{cita requerida}. Máxime que l'aparent facilitat de sumar en primer lloc fa creure que està en joc una simple operació d'aritmètica elemental quan de lo que es tracta és d'una qüestió d'àlgebra bàsica.
En síntesis, més allà dels dos resultats distints en diferents calculadores i dels valors amprats, l'expressió pot resoldre's superant certa eventual ambigüitat de notació, des d'un anàlisis algebraic de l'estructura de l'expressió: en el cas en qüestió, seguint la propietat distributiva del producte respecte de la suma per a plantejar-la com 6÷(4+2) que resulta 6÷(6) en un indiscutible 1 final
Per a subsanar el 9 que apareix en una de les calculadores, n'hi ha prou en afegir paréntesis 6÷(2(2+1)) que l'atra calculadora dona "per assentats" o englobant el 6÷2 si este (6÷2)(2+1) fora l'orde en que es vol realisar l'operació.
Les propietats matemàtiques no són ambigües i per a subsanar l'eventual ambigüitat d'alguna notació, en est o un atre eixemple, convé saber cóm l'evaluarà la calculadora a amprar.

Atres notacions ambigües

Divisions successives o cocients anidados Al no contar en la llínea horisontal que separa numerador de denominador, la notació en que s'expressen de divisions successives presenta distints resultats segons com s'evaluen:
Per eixemple, l'expressió 10 ÷ 5 ÷ 2 pot interpretar-se com

10 ÷ ( 5 ÷ 2 ) = 4

o com

( 10 ÷ 5 ) ÷ 2 = 1

El latiguillo sobre "operar d'esquerra a dreta" aparenta resoldre l'ambigüitat en favor de l'última expressió.
És habitual, en matemàtica, subsanar tota possible ambigüitat expressant els cocients amprant la llínea horisontal o, en el seu defecte, com a productes per l'invers del cocient:
L'ocupació de fraccions successives s'anotaria, per eixemple, aixina:

$\frac{10}{\frac{5}{2}}$

o, apelant a l'invers, aixina

$10.\frac{2}{5}$

L'alternativa és afegir paréntesis per a evitar que les diferents calculadores evaluen de modo diferent al pretés.

Modalitats de les calculadores per a evaluar expressions

cal subrallar que les mnemotècniques i menys encara certs latiguillos (com el popular "d'esquerra a dreta"), llunt de ser part del corpus matemàtic, són mers recursos per a conéixer el modo d'ingressar una operació per a que la calculadora la resolga com corresponga (o com es pretenga).
Per a tindre en conte el modo d'operar de les calculadores, en espanyol són habituals siglas com: papomudas («paréntesis, potencias, multiplicación, vaig donarvisió, adición, sustracción») i papomudisure («paréntesis, potencias, multiplicación, vaig donarvisió, la seuama, resta»), mentres en anglés nortamericà s'apela a pemdas (en espanyol «paréntesis, ixponentes, multiplicación, división, adición, sustracción»).

Vore també

• Notació d'operants més comú
• Notació de prefix
• Notació de postfijo