Operador de Reynolds

En la dinàmica de decorreguts i en la teoria de invariantes, un operador de Reynolds és un operador matemàtic dau al promediar alguna cosa sobre una acció de grup, satisfent un conjunt de propietats nomenades regles de Reynolds. En dinàmica de decorreguts, els operadors de Reynolds es troben a sovint en models de fluix turbulentos, particularment en les equacions de Navier-Stokes promediadas per Reynolds, a on el promig es pren típicament sobre el fluix de decorregut baix el grup de translacions temporals. En la teoria de invariantes, el promig se sol prendre sobre un grup compacte o un grup algebraic reductor que actua sobre un àlgebra conmutativa, com un anell de polinomis. Els operadors de Reynolds varen ser introduïts en la dinàmica de decorreguts per i batejats per.

Definició

Els operadors de Reynolds s'utilisen en dinàmica de decorreguts, anàlisis funcional i teoria de invariantes, i la notació i definicions en estes àrees diferixen llaugerament. Un operador de Reynolds que actua sobre φ es denota a voltes per $R(\varphi ),P(\varphi ),\rho (\varphi ),⟨\varphi ⟩$ o $\bar{\varphi }$. Els operadors de Reynolds solen ser operadors llineals que actuen sobre algun àlgebra de funcions, satisfent l'identitat

$R(R(\varphi )\psi )=R(\varphi )R(\psi )\text{ for all }\varphi ,\psi$

i a voltes algunes atres condicions, com la conmutación en vàries accions de grup.

Teoria invariante

En teoria invariante, un operador de Reynolds R sol ser un operador llineal que satisfà

$R(R(\varphi )\psi )=R(\varphi )R(\psi )\text{ para todo }\varphi ,\psi$

i

$R(1)=1$

Juntes, estes condicions impliquen que R és idempotent: R² = R. L'operador de Reynolds també sol commutar en alguna acció de grup, i proyectar-se sobre els elements invariantes d'esta acció de grup.

Anàlisis funcional

En anàlisis funcional un operador de Reynolds és un operador llineal R actuant sobre algun àlgebra de funcions φ, satisfent la identitat de Reynolds

$R(\varphi \psi )=R(\varphi )R(\psi )+R\left((\varphi -R(\varphi ))(\psi -R(\psi ))\right)\text{ for all }\varphi ,\psi$

L'operador R es diu operador de promig si és llineal i satisfà

$R(R(\varphi )\psi )=R(\varphi )R(\psi )\text{ para todo }\varphi ,\psi$

Si R(R(φ)) = R(φ) para tot φ llavors R és un operador promediador si i només si és un operador de Reynolds. A voltes s'afig la condició R(R(φ)) = R(φ) a la definició dels operadors de Reynolds.

Dinàmica de decorreguts

Sean $\varphi$ i $\psi$ dos variables aleatòries, i $a$ una constant arbitrària. Llavors les propietats satisfetes pels operadors de Reynolds, per a un operador $⟨⟩,$ inclouen la linealidad i la propietat de promediació:

$⟨\varphi +\psi ⟩=⟨\varphi ⟩+⟨\psi ⟩,$

$⟨a\varphi ⟩=a⟨\varphi ⟩,$

$⟨⟨\varphi ⟩\psi ⟩=⟨\varphi ⟩⟨\psi ⟩,$ which implies $⟨⟨\varphi ⟩⟩=⟨\varphi ⟩.$

Ademés, a sovint se supon que l'operador de Reynolds commuta en translacions espacials i temporals:

$⟨\frac{\partial \varphi }{\partial t}⟩=\frac{\partial ⟨\varphi ⟩}{\partial t},⟨\frac{\partial \varphi }{\partial x}⟩=\frac{\partial ⟨\varphi ⟩}{\partial x},$

Qualsevol operador que satisfaça estes propietats és un operador de Reynolds.

$⟨\int \varphi (𝒙,t)d𝒙dt⟩=\int ⟨\varphi (𝒙,t)⟩d𝒙dt.$

Eixemples

Els operadors de Reynolds es donen a sovint proyectant sobre un subespacio invariante d'una acció de grup.

El "operador de Reynolds" considerat per Reynolds (1895) era essencialment la proyecció d'un fluix de decorregut al fluix de decorregut "promig", que pot pensar-se com a proyecció a fluix invariantes en el temps. Ací l'acció del grup ve donada per l'acció del grup de les translacions temporals. Supongam que G és un grup algebraic reductor o un compacte grup, i V és una representació finit-dimensional de G. Llavors G també actua sobre l'àlgebra simètrica SV de polinomis. L'operador de Reynolds R és la proyecció invariante de G des de SV al subring SV^G d'elements fixats per G.

Bibliografia

• Kampé de Fériet, J.(1934).«L'état actuel du problème de la turbulence I».La Science Aérienne.3: 9–34.
• Kampé de Fériet, J.(1935).«L'état actuel du problème de la turbulence II».La Science Aérienne.4: 12–52.

• Kampé de Fériet, J.(1949).«Sur un problème d'algèbre abstraite vaig posar parell la définition de la moyenne dans la théorie de la turbulence».Annales de la Société Scientifique de Bruxelles. Série I. Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques.63: 165–180.ISSN 0037-959X.
• Reynolds, O.(1895).«On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination of the criterion».Philosophical Transactions of the Royal Society A.186: 123–164.doi:10.1098/rsta.1895.0004.
• Trencada, Gian-Carlo(2003).«Gian-Carlo Trencada on analysis and probability».Birkhäuser Boston.Boston, MA: Reprints several of Trencada's papers on Reynolds operators, with commentary.
• Trencada, Gian-Carlo(1964).«Proc. Sympos. Appl. Math.».Amer. Math. Soc..Providence, R.I.:XVI: 70–83.
• Sturmfels, Bernd(1993).«Algorithms in invariant theory».Springer-Verlag.Berlin, New York:doi:10.1007/978-3-7091-4368-1.