Número de Thabit

En teoria de números un número de Thabit, número de Thábit ibn Qurra o número 321 és un número entero de la forma $3\cdot 2^n-1$, sent n un número entero no negatiu. Es reconeix al matemàtic de el IX Thábit ibn Qurra com el primer en estudiar estos números i la seua relació en els números amics.

Definició

Un número de Thabit està descrit per la fòrmula:

$3\cdot 2^n-1$,

a on n és un número entero no negatiu $(n=0,1,\dots )$.

Els primers vint números de Thabit són:

2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1.535, 3.071, 6.143, 12.287, 24.575, 49.151, 98.303, 196.607, 393.215, 786.431, i 1.572.863.

Els números de Thabit representats en forma binaria tenen una llongitut de $n+2$ dígits i consistixen d'un «10» seguit per n uns. Per eixemple, per al número 23, $n=3$

$23=3\cdot 2^3-1$,

i en modo binario:

$23=10111_2$,

és dir, un 10 seguit de tres uns.

Els primers dèu números de Thabit que ademés són número primo són:

2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6.143, 786.431 i 51.539.607.551.

Per a abril de 2008, els valors coneguts de n en els quals s'obté un número de Thabit primers són:

0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1.274, 3.276, 4.204, 5.134, 7.559, 12.676, 14.898, 18.123, 18.819, 25.690, 26.459, 41.628, 51.387, 71.783, 80.330, 85.687, 88.171, 97.063, 123.630, 155.930, 164.987, 234.760, 414.840, 584.995, 702.038, 727.699, 992.700, 1.201.046, 1.232.255, 2.312.734, 3.136.255 i 4.235.414.

Els cosins per a $n\ge 234.760$ varen ser trobats pel proyecte de computació distribuïda 321 search. El major d'estos, $3\cdot 2^{\mathrm{4.235.414}}-1$, té 1.274.988 dígits i va ser trobat per Dylan Bennet en abril de 2008. El récort anterior era $3\cdot 2^{\mathrm{3.136.255}}-1$, trobat per Paul Underwood en març de 2007.

Propietats

La representació binaria del número de Thabit 3·2ⁿ-1 té una llongitut de n+2 dígits, que consta de "10" seguit de n voltes la sifra "1".

A continuació figuren els primers números de Thabit que són primers (Cosins de Thabit o 321 cosins):

2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431, 51539607551, 824633720831, ... Plantilla:OEIS

Plantilla:A data de, hi ha 65 número primo de Thabit coneguts. Els seus valors n són:

0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470 , 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414, 6090515, 11484018, 11731850, 11895718, 16819291, 17748034, 18196595, ...Plantilla:OEIS

Els cosins per a 234760 = n = 3136255 varen ser trobats pel proyecte de computació distribuïda 321 search.

En 2008, PrimeGrid es va fer càrrec de la busca d'número primo de Thabit. Se seguixen buscant i ya es hna trobat tots els cosins de Thabit fins a n = 4235414. També busca cosins de la forma 3·2ⁿ+1, que es denominen Cosins de Thabit de segona classe o 321 cosins de segona espècie.

Els primers números de Thabit del segon tipo són:

4, 7, 13, 25, 49, 97, 193, 385, 769, 1537, 3073, 6145, 12289, 24577, 49153, 98305, 196609, 393217, 786433, 1572865, ... Plantilla:OEIS

Els primers número primo de Thabit del segon tipo són:

7, 13, 97, 193, 769, 12289, 786433, 3221225473, 206158430209, 6597069766657, 221360928884514619393, ... Plantilla:OEIS

Els seus valors n són:

1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, 20909 , 34350, 42294, 42665, 44685, 48150, 54792, 55182, 59973, 80190, 157169, 213321, 303093, 362765, 382449, 709968, 801978, 916773, 1832496, 2145353, 2291610, 2478785, 5082306, 7033641, 10829346, . .. Plantilla:OEIS

Vore també

• Regla de Thabit ibn Qurrá