Moviment harmònic complex

Un moviment harmònic complex és un moviment superposició llineal de moviments harmònics simples. Encara que un moviment harmònic simple és sempre periòdic, un moviment harmònic complex no necessàriament és periòdic, encara que sí pot ser analisat per mig d'anàlisis harmònic de Fourier. Un moviment harmònic complex és periòdic solament si és la combinació de moviments harmònics simples les freqüències dels quals són totes múltiples racionals d'una freqüència base.

Cinemàtica d'un moviment harmònic complex

Un sistema que presenta oscilacions harmòniques en n graus de llibertat en general té elongació X_i o moviments a lo llarc de direccions independents de la forma:

O més detalladament:

A on, ${\left\{{\omega }_i\right\}}_{i=1,\mathrm{...},n}$ són les freqüències pròpies del sistema, ${\left\{{\varphi }_i\right\}}_{i=1,\mathrm{...},n}$ les fases inicials. Cada u dels vectores columna de la matriu A es diu modo propi de vibració, i els C_i són les amplitut relatives de cada modo propi. Pot vore's que per a n = 1 un moviment harmònic complex és simplement una suma de moviments harmònics simples:

La velocitat i l'acceleració d'un moviment harmònic complex general s'obtenen derivant respecte al temps i també resulten ser moviments harmònics complexos, composició de moviments de les mateixes freqüències pròpies. Encara que ara no tenen per qué existir punts de velocitat zero, com succeïx en el moviment harmònic simple.

Periodicitat

Un moviment es diu periòdic quan es repetix a intervals regulars de temps; açò és, si despuix de cert interval de temps constant, torna a passar per la mateixa posició i en la mateixa velocitat. La periodicitat requerix que el vector de posicions x(t) = x(t+T) para tot t i per a algun valor de T. Per al cas d'un moviment harmònic complex com (1a) això requerix que, per a tot i,

La periodicitat tan sol és possible si para qualssevol freqüències el seu cocient és un número racional. Sent com és que els número racional són un conjunt de mida zero o conjunt nul, la provabilitat de que el cocient de totes les freqüències siga un número racional és zero i, per tant, els moviments harmònics complexos reals són cuasiperiódicos, pero no periòdics.

Equació de moviment

El moviment harmònic complex donat per (1a) o (1b) és solució d'una equació d'un problema de chicotetes vibracions del tipo:

A on:

$𝐌$, és l'anomenada matriu de massa que representa l'inèrcia del sistema.

$𝐊$, és la cridada matriu de rigidea que representa l'intensitat de les forces de recuperació i són tant majors quant més rígit siga el sistema.

En el cas més general d'un sistema en amortiguamiento llineal i força d'excitació interna, l'equació de moviment és més general:

A on s'ha afegit una matriu $𝐂$ que dona conte del amortiguamiento.

Oscilacions acoplades

Un cas comú de moviment harmònic complex és el cas del problema de oscilacions acoplades. Este problema d'oscilacions acoplades apareix, per eixemple, en les vibracions tèrmiques d'un cristal, en el moviment horisontal d'un edifici en un terremot i en el moviment d'un sistema de masses unides per molls o resorts. Estos problemes conduïxen a un sistema d'equacions del següent tipo:

Que en forma matricial pot escriure's com:

El problema pot resoldre's per mig de certs canvis de variables que duen a les coordenades normals o amplitut dels modos propis de vibració, que són de fet una forma particular de coordenades generalisades per al problema mecànic original.

Freqüències i modos propis

Els modos propis proporcionen una solució del problema (2') de la forma (1). Per a això és necessari determinar una série de freqüències naturals del sistema que poden calcular-se com:

Açò proporciona N soluciones per al quadrat de la freqüència natural. Per a cada una d'estes solucions es busca un vector unitari, cridat modo propi, que satisfaça l'equació compatible indeterminada:

Pot comprovar-se que estos vectores representant els diversos modos propis del sistema són ortogonals entre sí, per lo que la matriu formada per tots ells és una matriu ortogonal:

Les coordenades normals, associades als modos propis, s'obtenen per mig d'un canvi llineal a partir de les coordenades convencionals:

A on $𝐁=\left\{b_{ij}\right\}={𝐀}^T$, complint-se que B' és la matriu inversa de A (A·B = B·A = I).

Solució del problema d'oscilacions lliures

La solució general es pot obtindre fàcilment resolent el problema en coordenades normals. Usant estes coordenades s'obté fàcilment si es té en conte que $𝐱=𝐀𝐪$:

Pero per les propietats de la matriu $𝐀$ la matriu entre corchetes resulta ser una matriu diagonal i per tant la solució d'eixe últim sistema s'obté resolent N equacions per a cada una de les un conjunt d'equacions del tipo:

En térmens de les coordenades normals i la matriu de modos propis, la solució general del sistema s'escriu:

Solució del problema d'oscilacions forçades amortiguadas

La solució general s'obté igual que abans usant coordenades normals $𝐱=𝐀𝐪$:

Per construcció de les coordenades ortogonals les matrius que multipliquen a $\ddot{𝐪}$ i $\dot{𝐪}$ són diagonals (açò requerix com a condició adicional que $𝐊𝐂=𝐂𝐊$), per lo que l'últim sistema es reduïx a N equacions independents del tipo:

Per lo que la solució resulta ser finalment:

És dir, la combinació llineal de N moviments harmònics forçats amortiguados.