Modus tollendo tollens

Plantilla:Regles de transformació El modus tollendo tollens (llatí: "el modo que, en negar, nega", conegut com modus tollens, negació del conseqüent o llei de contraposició) és una forma d'argument vàlida i una regla d'inferència en llògica proposicional. Es pot resumir com "Si P implica Q, i Q no és cert, llavors P no és cert".

El modus tollendo tollens és una aplicació de la veritat general de que, si una declaració és vàlida, també ho és la seua contraposició. L'història de la regla modus tollendo tollens es remonta a l'antiguetat, sent els estoicos els primers en declarar explícitament esta forma vàlida d'argument.

El modus tollendo tollens pot establir-se formalment com:

$\begin{array}{cc}& P\to Q\\ & \mathrm{\neg }Q\\ \therefore & \mathrm{\neg }P\end{array}$

a on P → Q significa "P implica Q", ¬Q significa "no és el cas de que Q" ("no Q"), ¬P significa "no P". La regla és que cada volta que P → Q i ¬Q apareguen per sí mateixes en una llínea d'una prova llògica, ¬P pot ser escrit válidamente en una llínea subsegüent.

Un eixemple simple de modus tollendo tollens és:

$P\to Q$

Si l'aigua hervir, llavors soltarà vapor.

$\mathrm{\neg }Q$ No solta vapor.

$\therefore \mathrm{\neg }P$

Per lo tant, no està hervir l'aigua.

En este cas,

$P$

és "l'aigua hervir",

$Q$

és "solta vapor". Ya que

$\mathrm{\neg }Q$

, és dir, "no solta vapor", es pot concloure que

$\mathrm{\neg }P$

, és dir, "l'aigua no hervir".

El modus tollendo tollens està estretament relacionat en una atra forma d'argument vàlit, el modus ponendo ponens. Abdós estan relacionats en dos formes no vàlides d'argument o falàcies: afirmació del conseqüent i negació de l'antecedent.

Notació formal

La regla del modus tollendo tollens pot escriure's de diverses formes.

Modus tollendo tollens en notació subsegüent

$P\to Q,\mathrm{\neg }Q⊢\mathrm{\neg }P$

a on $⊢$ és un símbol metalógico que significa que $\mathrm{\neg }P$ és una conseqüència sintàctica de $P\to Q$ i $\mathrm{\neg }Q$ en algun sistema llògic.

Modus tollendo tollens com a afirmació de tautologia veritat-funcional

Esta notació també és cridada teorema de la llògica proposicional. S'escriu:

$((P\to Q)\wedge \mathrm{\neg }Q)\to \mathrm{\neg }P$

a on $P$ i $Q$ són proposicions expressades en algun sistema formal.

Modus tollendo tollens incloent suposts

S'escriu:

$\frac{\Gamma ⊢P\to Q\Gamma ⊢\mathrm{\neg }Q}{\Gamma ⊢\mathrm{\neg }P}$

encara que ya que la regla no canvia el conjunt de suposicions, açò no és estrictament necessari.

Escritures més complexes

Moltes voltes, es veuen reescritura més complexes que involucren modus tollendo, per eixemple, en la teoria de conjunts:

$P\subseteq Q$

$x\notin Q$

$\therefore x\notin P$

("P és un subconjunt de Q. x no està en Q. Per lo tant, x no està en P.")

També en la llògica de predicats de primer orde:

$\mathrm{\forall }x:P(x)\to Q(x)$

$\mathrm{\exists }x:\mathrm{\neg }Q(x)$

$\therefore \mathrm{\exists }x:\mathrm{\neg }P(x)$

("Per a tot x si x és P llavors x és Q. Existix algun x que no és Q. Per lo tant, existix algun x que no és P.")

En sentit estricte no es tracta d'instàncies de tollendo modus, pero podran derivar-se utilisant modus tollendo tollens utilisant algunes mides adicionals.

Explicació

L'argument té dos premisses. La primera premissa és un condicional o sentència "si-llavors", per eixemple, que si p llavors q. La segona premissa és que no és el cas de q ("no q"). A partir d'estes dos premisses, es pot concloure llògicament que no és el cas de p ("no p").

Per eixemple:

p1: Si el gos guardià detecta un intrús, el gos guardià lladra.

p2: El gos guardià no va lladrar.

C: Per lo tant, el gos guardià no va detectar cap intrús.

Suponent que les premisses són verdaderes (el gos lladra si detecta un intrús, i de fet no lladra), es deduïx que cap intrús ha segut detectat. Est és un argument vàlit, ya que no és possible que la conclusió siga falsa si les premisses són verdaderes. (És concebible que hi haja hagut un intrús que el gos no va detectar, pero això no invalida l'argument; la primera premissa és "Si el gos detecta un intrús"). El fet important és que el gos detecta o no detecta un intrús, no si este existix o no.

Un atre eixemple:

p1: Si yo soc l'assessí de l'astral, llavors sigues cóm usar un astral.

p2: No sé cóm usar un astral.

C: Per lo tant, yo no soc l'assessí de l'astral.

Vore també

• Argumentum ad ignorantiam
• Senar sequitur (llògica)
• Reductio ad absurdum
• Demostració per contraposició