Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio

Pàgina de títul de l'obra de John Napier de 1614, Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio

Les pàgines dels logaritmos per a l'àngul de 19 graus de la taula de Napier de 1614. La pàgina de l'esquerra cobrix increments d'àngul de 0 a 30 minuts, la pàgina de la dreta de 30 a 60 minuts.

Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Descripció de la maravellosa regla dels logaritmos, en espanyol, i conegut informalmente com Descriptio) és un llibre en llatí del terratinent i aficionat a les matemàtiques escocés John Napier que expon per volta primera el método d'us dels logaritmos. Encara que atres matemàtics s'havien acostat a l'idea dels logaritmos, com l'alemà Michael Stifel i el suís Joost Bürgi, va ser Napier qui va publicar en el seu llibre per primera volta el concepte, junt en taules precalculadas de fàcil us.

Història

Abans de l'introducció dels logaritmos, els càlculs numèrics d'alta precisió que implicaven multiplicació, divisió i extracció de raïls eren laboriosos i propensos a errors. Els logaritmos simplifiquen enormement estos càlculs. Com ho va expressar Napier en el prefacio del seu llibre:

Ya que res és més tediós, colegues matemàtics, en la pràctica de les arts matemàtiques que els grans retarts sofrits en el tedi de les llargues multiplicacions i divisions, el càlcul de raons i l'extracció de les raïls quadrades o cúbiques, i en les quals no només s'ha de considerar el retart de temps sino també la molèstia dels molts errors mecs produïts; li he estat donant tornades a la meua ment i, per l'art segur i expeditivo, podria ser capaç de millorar estes dificultats citades. Despuix de pensar lo suficient, finalment he trobat una regla maravellosa per a fer els procediments més curts, i tal volta la manera en la que el método va sorgir s'establix en atres llocs. Realment, en lo que concernix a estes matèries, no hi ha res més útil que el método que he trobat. Aixina, tots els métodos associats a les multiplicacions i divisions de números i a les llargues i àrdues extracció de les raïls quadrades i cúbiques són tots rebujats en l'obra, i el seu lloc ho ocupen atres números en la seua substitució, els quals fan les mateixes operacions rebujades a través de sumes, restes i la divisió entre dos o tres únicament.

El llibre conté cincuenta y siete pàgines de material explicatiu i noranta pàgines de taules de funcions trigonométricas i les seues logaritmos neperianos. Estes taules varen reduir els càlculs en trigonometria esfèrica, que són fonamentals per a l'astronomia i la navegació astronòmica i que normalment inclouen productes de sens, cosenos i atres funcions. Napier també descriu atres usos, com la resolució de problemes de proporcions.

John Napier va passar 20 anys calculant les taules.Després, va reunir els seus càlculs i observacions en idioma llatí i, durant eixe procés, va idear la paraula logaritmo (de les paraules gregues λόγος (logos) que significa ‘proporció’, i ἀριθμός (arithmós) que significa ‘número’, i es definix, lliteralment, com «un número que indica una relació o proporció») que va substituir a la seua denominació inicial de «números artificials». El títul complet que va donar a l'obra va ser Mirifici logarithmorum canonis descriptio, ejusque usus, in utraque Trigonometria; ut etiam in omni Logistica Mathematica. Amplissimi, facillimi & expeditissimi explicatio (Una descripció de la maravellosa regla dels logaritmos i el seu us, tant en Trigonometria; com també en tots els Càlculs Matemàtics. Una explicació molt completa, fàcil i ràpida, en idioma espanyol).

Posteriorment, John Napier va reunir les notes en les que descriu cóm va construir les seues taules, pero va pospondre la seua publicació per a vore cóm seria rebut el seu primer llibre. Napier va morir en 1617, per lo que el seu fill i albacea lliterari, Robert Napier, va publicar el llibre del seu pare, Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio (Construcció de la maravellosa regla dels logaritmos, en idioma espanyol, conegut informalmente com Constructio) en notes adicionals del matemàtic Henry Briggs en 1619. Este llibre detalla cóm Napier va crear i va utilisar tres taules de progressions geomètriques per a facilitar el càlcul de logaritmos de la funció sen. Abdós treballs varen ser publicats pel taller de l'impressor escocés Andrew Hart.

Les taules

En l'época de Napier, la notació decimal, com s'usava en Europa, solament representava número entero. El matemàtic neerlandés Simon Stevin havia propost incloure una part fraccionaria en un número decimal, pero la seua notació era incómoda. L'idea d'utilisar un punt per a separar la part sancera d'un número decimal de la part fraccionaria va ser proposta per primera volta pel propi Napier en la Secció 5 del seu Constructio. Napier va utilisar el concepte per a facilitar un càlcul més precís de les taules, pero no en les taules impreses mateixes. Aixina, el valor del sen d'un àngul publicat en la seua taula és un número entero que representa la llongitut del costat opost a eixe àngul en un triàngul rectàngul en hipotenusa de 10 000 000 d'unitats de llongitut. El logaritmo de la taula, no obstant, és el del valor del sen dividit per 10 000 000.El logaritmo es presenta novament com un número entero en un denominador implícit de 10 000 000.

Les taules consten de 45 parells de pàgines enfrontades. Cada parell està etiquetat en la part superior en un àngul, de 0 a 44 graus, i en la part inferior, de 90 a 45 graus, llevat en la pàgina de 44 a 45 graus que és d'una sola cara. La primera columna de cada pàgina de la taula és un increment de l'àngul en minuts d'arc, que s'agregarà al valor de graus en la part superior de la pàgina. La columna de l'extrem dret són els minuts que s'afegiran al valor de graus en la part inferior de cada pàgina. Esta disposició és tal que per a cada llínea d'una pàgina, l'àngul complet representat per la columna 7 és l'àngul complementari de la columna 1 (90°–columna 1). Movent-se cap a dins, adjacent a cada columna d'àngul està el sen d'eixe àngul, seguit pel valor absolut del logaritmo de Napier d'eixe sen. Es poden obtindre logaritmos dels cosenos per a la columna 1 fàcilment llegint la pàgina fins a la columna 5, i viceversa. La columna del mig mostra la diferència entre els dos logaritmos, que és el logaritmo neperiano de la funció tangente o cotangente si s'invertixen els signes.

Les taules també es poden usar per a trobar els logaritmos neperianos de números positius menors que un, en usar com a argument de la funció el cocient entre els valors dels sens (columnes 2 i 6) i la diferència dels valors dels logaritmos dels sens (columnes 3 i 5) com logaritmo resultant, invertint el signe i dividint entre 10 000 000. En revertir el procediment, s'obtenen els antilogaritmos respectius.

Les primeres tres files de la següent taula reproduïxen els títuls i les dos primeres files de senyes de la pàgina de 19 graus del costat esquerre de la taula de Napier, segons la fotografia anexa a este artícul. Els seguixen un encapçalat traduït i valors de sens i logaritmos calculats en algoritmes moderns per a estos mateixos ànguls. Estos es trunquen a una precisió de 8 dígits, un més que la precisió nominal de 7 dígits de la taula de Napier. Els números de columna es mostren per a major claritat.

Pàgina de la Descriptio de Napier (costat esquerre) per a 19 graus.

el meu.	Sinus	Logarithmi	Differentie	Logarithmi	Sinus
0	3255682	11221830	10661613	560217	9455186	60
1	3258432	11213386	10652167	561219	9454239	59
θ	sen(θ)	−ln(sen(θ))	−ln(tan(θ))	−ln(sen(90°-θ))	sen(90° − θ)	90° − θ
19°	0.32556815	1.12218345	1.0661617	0.05602174	0.94551857	71°
19°1′	0.32584318	1.12133905	1.0652171	0.05612195	0.94542383	70°59′
Columna 1	2	3	4	5	6	7

Vore també

• Història dels logaritmos
• Signe de multiplicació