Millor resposta

En teoria de jocs, es denomina millor resposta a una estratègia que millora el pagament per al jugador que l'adopta donat un perfil d'estratègies per als demés jugadors. El concepte de millor resposta té importància crucial en l'estudi dels equilibris de Nash, particularment en la demostració d'existència d'equilibris en estratègies mixtes.

Millor resposta a estratègies pures

Donat un perfil d'estratègies pures $\sigma \in D$, diem que ${\hat{\sigma }}^j\in D_j$ és una millor resposta del jugador j al perfil σ si:

${\phi }_j(\sigma |{\hat{\sigma }}^j)\ge {\phi }_j(\sigma |{\sigma }^j)\mathrm{\forall }{\sigma }^j\in D_j$

a on ${\phi }_j$ denota la funció de pagament del jugador j.

Direm que ${\hat{\sigma }}^j\in D_j$ és una millor resposta estricta de j al perfil σ si

${\phi }_j(\sigma |{\hat{\sigma }}^j)\ge {\phi }_j(\sigma |{\sigma }^j)\mathrm{\forall }{\sigma }^j\in D_j$ i ${\phi }_j(\sigma |{\hat{\sigma }}^j>{\phi }_j(\sigma )$

Millor resposta a estratègies mixtes

Podem dividir les millors respostes a estratègies mixtes en dos tipos:

• Millors respostes pures, que poden ajudar a trobar equilibris de Nash, per eixemple per mig del algoritme de joc fictici.

• Millors respostes mixtes, útils tant en la teoria com en la pràctica i base d'una demostració d'existència d'equilibri de Nash en estratègies mixtes.

Millor resposta pura

Donat un perfil d'estratègies mixtes X∈M, direm que l'estratègia pura ${\hat{\sigma }}^j\in D_j$ és una millor resposta pura del jugador j al perfil X si

$\underset{{\sigma }^j\in D_j}{m\acute{a}x}{E}_j(X|{\sigma }^j)=E_j(X|{\hat{\sigma }}^j)$

Direm que ${\hat{\sigma }}^j\in D_j$ és millor resposta pura estricta del jugador j al perfil d'estratègies mixtes X si és una millor resposta pura de j a X i ademés $E_j(X|{\hat{\sigma }}^j)>E_j(X)$

Millor resposta mixta

Dau X∈M, direm que ${\hat{X}}^j$ és una millor resposta mixta del jugador j al perfil X si

$\underset{X^j\in M_j}{m\acute{a}x}{E}_j(X|X^j)=E_j(X|{\hat{X}}^j)$.

Referències

• H.S. Bierman, L. Fernández, "Game Theory with Economic Applications", Addison-Wesley, 1993.

• K. Binmore, "Teoria de Jocs", McGraw-Hill, 1994.

• R. Gibbons, "Un Primer Curs de Teoria de Jocs", Antoni Bosh, 1996.

• Oskar Morgenstern i John von Neumann, "Theory of Games and Economic Behavior", Princeton University Press, 1947.

• Zapata L. Coloma, "Economia, Política i Atres Jocs: Una Introducció als Jocs No Cooperatius", les prenses de ciències, 2007.