Mecànica de decorreguts hamiltoniana

La mecànica de decorreguts hamiltoniana és l'aplicació dels métodos de la mecànica hamiltoniana a la mecànica de decorreguts. Note's que este formalisme només s'aplica a decorreguts no disipativos.

Fluix barotrópico irrotacional

Prengam el senzill eixemple d'un barotrópico, no viscós i sense vorticidad.

Llavors, els camps conjugats són el camp densitat de massa ρ i el potencial de velocitat φ. El paréntesis de Poisson ve dau per

$\{\rho (\overrightarrow{y}),\phi (\overrightarrow{x})\}={\delta }^d(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})$

i el Hamiltoniano per:

$H=\int {\mathrm{d}}^{d}x\mathscr{H}=\int {\mathrm{d}}^{d}x(\frac{1}{2}\rho (\mathrm{\nabla }\phi {)}^2+e(\rho )),$

a on i és la densitat d'energia interna, en funció de ρ. Per a este fluix barotrópico, l'energia interna està relacionada en la pressió p per:

$e^{″}=\frac{1}{\rho }{p}^{\prime },$

a on un apóstrofe ('), denota diferenciació sobre ρ.

Esta estructura Hamiltoniana dona lloc a les següents dos equacions de moviment:

$\begin{array}{cc}\frac{\partial \rho }{\partial t}& =+\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \phi }=-\mathrm{\nabla }\cdot (\rho \overrightarrow{u}),\\ \frac{\partial \phi }{\partial t}& =-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \rho }=-\frac{1}{2}\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u}-e^{\prime },\end{array}$

a on $\overrightarrow{u}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\mathrm{\nabla }\phi$ és la velocitat i està lliure de vorticidad. La segona equació conduïx a les equacions de Euler:

$\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial t}+(\overrightarrow{u}\cdot \mathrm{\nabla })\overrightarrow{u}=-e^{″}\mathrm{\nabla }\rho =-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }p$

despuix d'explotar el fet de que la vorticidad és zero:

$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}.$

Com la dinàmica de decorreguts es descriu per mig de dinàmiques no canòniques, que posseïxen una cantitat infinita de invariantes de Casimir, es pot introduir una formulació alternativa de la formulació hamiltoniana de la dinàmica de decorreguts per mig de l'us de la mecànica de Nambu.

Bibliografia

• (2018) Variational Formulation of Fluïu and Geophysical Fluïu Dynamics - Mechanics, Symmetries and Conservation Laws -, Springer, pp. 218. doi:10.1007/978-3-319-59695-2. ISBN 978-3-319-59694-5.
• Morrison, P. J.. “Hamiltonian Description of the Ideal Fluïu”. Reviews of Modern Physics 70: 467–521. doi:10.1103/RevModPhys.70.467. Bibcode: 1998RvMP...70..467M.
• R. Salmon (1988). “Hamiltonian Fluïu Mechanics”. Annual Review of Fluïu Mechanics 20: 225–256. doi:10.1146/annurev.fl.20.010188.001301. Bibcode: 1988AnRFM..20..225S.
• (1990) «Symmetries, Conservation Laws, and Hamiltonian Structure in Geophysical Fluïu Dynamics», Advances in Geophysics Volume 32 (vol. 32), pp. 287–338. doi:10.1016/S0065-2687(08)60429-X. ISBN 9780120188321.
• Swaters, Gordon E. (2000). Introduction to Hamiltonian Fluïu Dynamics and Stability Theory, Boca Raton, Florida: Chapman & Hall/CRC, pp. 274. ISBN 1-58488-023-6.
• “A Nambu representation of incompressible hydrodynamics using helicity and enstrophy” (1993). J. Phys. A 26 (22): 1189–1193. doi:10.1088/0305-4470/26/22/010. Bibcode: 1993JPhA...26L1189N.
• “Hydrodynamic Nambu mechanics derived by geometric constraints” (2015). J. Phys. A 48 (10): 105501. doi:10.1088/1751-8113/48/10/105501. Bibcode: 2015JPhA...48j5501B.