Matriu de coeficients

En àlgebra llineal, una matriu de coeficients és una matriu que consta dels coeficients de les variables d'un conjunt d'equacions de primer grau, i s'utilisa per a resoldre-ho.

Matriu de coeficients

En general, un sistema en m equacions de primer grau i n incògnites es pot escriure com

$\begin{array}{cc}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n& =b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n& =b_2\\ & ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n& =b_m\end{array}$

a on $x_1,x_2,\dots ,x_n$ són les incògnites i els números $a_{11},a_{12},\dots ,a_{mn}$ són els coeficients del sistema. La matriu de coeficients és la matriu m × n en cada coeficient a_ij com l'entrada (i, j):

$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$

Llavors, el conjunt d'equacions anterior es pot expressar de manera més sucinta com

$A𝐱=𝐛$

a on A és la matriu de coeficients i b és el vector columna dels térmens constants.

Relació de les seues propietats en les propietats del sistema d'equacions

Pel teorema de Rouché–Frobenius, es diu que un sistema d'equacions és inconsistente (lo que significa que no té solucions), si el ranc de la matriu aumentada (la matriu de coeficients aumentada en una columna adicional que consta del vector b) és major que el ranc de la matriu de coeficients. Si, pel contrari, els rancs d'estes dos matrius són iguals, el sistema deu tindre a lo manco una solució. La solució és única si i solament si el ranc r és igual al número n de variables. De lo contrari, la solució general té n – r paràmetros lliures, i per lo tant, en tal cas hi ha una infinitat de solucions, que poden trobar-se imponent valors arbitraris a n – r de les variables i resolent el sistema resultant per a la seua solució única. Diferents opcions de quines variables fixar, i diferents valors fixos d'elles, donen diferents solucions al sistema.