Matriu de Lehmer

En matemàtiques, la matriu de Lehmer, (nomenada en honor al matemàtic nortamericà Derrick Henry Lehmer), és la matriu simètrica definida per la següent regla

$$A_{ij}=\{\begin{array}{c}i/j,j\ge i\\ j/i,j<i\end{array}$$

O, de forma simplificada

$$A_{ij}=\frac{\text{min}(i,j)}{\text{max}(i,j)}$$

Propietats

• Una matriu de Lehmer en orde $n$ té traça $n$
• En ser simètrica, es complix $A_{ij}=A_{ji}$
• Tots els seus autovalores són positius, per lo que és una matriu definida positiva. Açò garantisa que qualsevol producte quadràtic en esta matriu siga positiu.

Eixemples

Les matrius de Lehmer $(2\times 2,3\times 3,\cdots ,6\times 6)$ en les seues inverses es mostren avall.

${\text{A}}_2=\left(\begin{array}{cc}1& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 1\end{array}\right)$; ${\text{A}}_2^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{4}{3}& -\frac{2}{3}\\ -\frac{2}{3}& \frac{4}{3}\end{array}\right)$

${\text{A}}_3=\left(\begin{array}{ccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{2}& 1& \frac{2}{3}\\ \frac{1}{3}& \frac{2}{3}& 1\end{array}\right)$; ${\text{A}}_3^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{4}{3}& -\frac{2}{3}& 0\\ -\frac{2}{3}& \frac{32}{15}& -\frac{6}{5}\\ 0& -\frac{6}{5}& \frac{9}{5}\end{array}\right)$

${\text{A}}_4=\left(\begin{array}{cccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}& 1& \frac{2}{3}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{3}& \frac{2}{3}& 1& \frac{3}{4}\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{3}{4}& 1\end{array}\right)$; ${\text{A}}_4^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}\frac{4}{3}& -\frac{2}{3}& 0& 0\\ -\frac{2}{3}& \frac{32}{15}& -\frac{6}{5}& 0\\ 0& -\frac{6}{5}& \frac{108}{35}& -\frac{12}{7}\\ 0& 0& -\frac{12}{7}& \frac{16}{7}\end{array}\right)$

${\text{A}}_5=\left(\begin{array}{ccccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{4}& \frac{1}{5}\\ \frac{1}{2}& 1& \frac{2}{3}& \frac{1}{2}& \frac{2}{5}\\ \frac{1}{3}& \frac{2}{3}& 1& \frac{3}{4}& \frac{3}{5}\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{3}{4}& 1& \frac{4}{5}\\ \frac{1}{5}& \frac{2}{5}& \frac{3}{5}& \frac{4}{5}& 1\end{array}\right)$; ${\text{A}}_5^{-1}=\left(\begin{array}{ccccc}\frac{4}{3}& -\frac{2}{3}& 0& 0& 0\\ -\frac{2}{3}& \frac{32}{15}& -\frac{6}{5}& 0& 0\\ 0& -\frac{6}{5}& \frac{108}{35}& -\frac{12}{7}& 0\\ 0& 0& -\frac{12}{7}& \frac{256}{63}& -\frac{20}{9}\\ 0& 0& 0& -\frac{20}{9}& \frac{25}{9}\end{array}\right)$

${\text{A}}_6=\left(\begin{array}{cccccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{4}& \frac{1}{5}& \frac{1}{6}\\ \frac{1}{2}& 1& \frac{2}{3}& \frac{1}{2}& \frac{2}{5}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}& \frac{2}{3}& 1& \frac{3}{4}& \frac{3}{5}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{3}{4}& 1& \frac{4}{5}& \frac{2}{3}\\ \frac{1}{5}& \frac{2}{5}& \frac{3}{5}& \frac{4}{5}& 1& \frac{5}{6}\\ \frac{1}{6}& \frac{1}{3}& \frac{1}{2}& \frac{2}{3}& \frac{5}{6}& 1\end{array}\right)$; ${\text{A}}_6^{-1}=\left(\begin{array}{cccccc}\frac{4}{3}& -\frac{2}{3}& 0& 0& 0& 0\\ -\frac{2}{3}& \frac{32}{15}& -\frac{6}{5}& 0& 0& 0\\ 0& -\frac{6}{5}& \frac{108}{35}& -\frac{12}{7}& 0& 0\\ 0& 0& -\frac{12}{7}& \frac{256}{63}& -\frac{20}{9}& 0\\ 0& 0& 0& -\frac{20}{9}& \frac{500}{99}& -\frac{30}{11}\\ 0& 0& 0& 0& -\frac{30}{11}& \frac{36}{11}\end{array}\right)$