Método de Euler-Lagrange estocàstic

En dinàmica de decorreguts computacional, el Método de Euler-Lagrange estocàstic ('SELM' per les seues sigles en anglés)» és un enfocament per a capturar les característiques essencials de les interaccions fluït-estructura subjectes a fluctuacions tèrmiques a l'hora que introduïx aproximacions que faciliten l'anàlisis i el desenroll de métodos numèrics manejables. SELM és un enfocament híbrit que utilisa una descripció euleriana per als camps hidrodinàmics continus i una descripció lagrangiana per a les estructures elàstiques. Les fluctuacions tèrmiques s'introduïxen a través de camps de conducció estocàstics. També s'introduïxen enfocaments per als camps estocàstics de les SPDÉs en la finalitat d'obtindre métodos numèrics que tinguen en conte els artefactes de discretisació numèrica per a mantindre els principis estadístics, com l'equilibri entre fluctuació i malbarat i atres propietats de la mecànica estadística.

Equacions i operadors

Les equacions de decorregut-estructura SELM que s'utilisen habitualment són

$\rho \frac{du}{dt}=\mu \Delta u-\mathrm{\nabla }p+\Lambda [{\rm Y}(V-\Gamma u)]+\lambda +f_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{m}}(x,t)$

$m\frac{dV}{dt}=-{\rm Y}(V-\Gamma u)-\mathrm{\nabla }\Phi [X]+\xi +F_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{m}}$

$\frac{dX}{dt}=V.$

La pressió «p» ve determinada per la condició de incompresibilidad del decorregut.

$\mathrm{\nabla }\cdot u=0.$

Els operadors $\Gamma ,\Lambda$ acoplen els graus de llibertat eulerianos i lagrangianos. Els símbols $X,V$ denoten els vectores composts del conjunt complet de coordenades lagrangianas per a les estructures. El símbol $\Phi$ és l'energia potencial per a una configuració de les estructures. Els símbols $f_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{m}},F_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{m}}$ són camps impulsors estocàstics que tenen en conte les fluctuacions tèrmiques. Els $\lambda ,\xi$ són multiplicadors de Lagrange que imponen restriccions, com deformacions locals de cossos rígits. Per a garantisar que el malbarat es produïxca únicament a través de l'acoplament ${\rm Y}$ i no com a conseqüència de la interconversión pels operadors $\Gamma ,\Lambda$, s'imponen les següents condicions adjuntes

$\Gamma ={\Lambda }^T.$

Les fluctuacions tèrmiques s'introduïxen per mig de camps aleatoris gaussianos en mija zero i estructura de covarianza.

$⟨f_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{m}}(s)f_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{m}}^T(t)⟩=-\left(2k_{B}T\right)(\mu \Delta -\Lambda {\rm Y}\Gamma )\delta (t-s).$

$⟨F_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{m}}(s)F_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{m}}^T(t)⟩=2k_{B}T{\rm Y}\delta (t-s).$

$⟨f_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{m}}(s)F_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{m}}^T(t)⟩=-2k_{B}T\Lambda {\rm Y}\delta (t-s).$

Simplificació

Per a obtindre descripcions simplificades i métodos numèrics eficients, s'han considerat aproximacions en diversos règims físics llímit en la finalitat d'eliminar la dinàmica en escales de temps chicotetes o els graus de llibertat inerciales. En diferents règims llímit, el marc SELM pot relacionar-se en el método de frontera immersa, la dinàmica stokesiana accelerada i el método lagrangiano-euleriano arbitrari. S'ha demostrat que l'enfocament SELM produïx una dinàmica estocàstica de decorreguts i estructures que és coherent en la mecànica estadística. En particular, s'ha demostrat que la dinàmica SELM satisfà l'equilibri detallat per al conjunt de Gibbs-Boltzmann. També s'han introduït diferents tipos d'operadors d'acoplament que permeten descriure estructures que impliquen coordenades generalisades i graus de llibertat de translació o rotació adicionals. Per a discretizar numèricament les SPDÉs SELM, també es varen introduir métodos generals per a derivar camps estocàstics numèrics per a SPDÉs que tenen en conte els artefactes de discretisació per a mantindre els principis estadístics, com l'equilibri de fluctuació-malbarat i atres propietats de la mecànica estadística.

Els métodos SELM s'han utilisat per a simulacions de decorreguts viscoelásticos i materials blans, inclusions de partícules dins d'interfaços decorreguts curves

i atres sistemes microscòpics i dispositius d'ingenieria.

Vore també

• Método de contorn immers
• Dinàmica de Stokes
• Método del volum de decorreguts
• Método del conjunt de nivell
• Método de marcadors i celes