Llei quadràtic-cúbica

La llei quadràtic-cúbica va ser mencionada per primera volta en Due Nuove Scienze (1638).

La llei quadràtic-cúbica és un principi matemàtic-geomètric, aplicat en varis camps científics i tècnics, que descriu la relació entre volum i àrea d'un cos a mida que aumenta o disminuïx la seua forma o figura. Va ser descrita per primera volta en 1638 per Galileo Galilei en el seu llibre Dos noves ciències: Discorsi i Dimostrazioni Matematiche, intorno a due nuove scienze.

En térmens generals este principi establix que, quan una forma creix en tamany, el seu volum creix més ràpit que la seua superfície. Quan s'aplica al món real, este principi té moltes implicacions que són importants en camps que van des de l'ingenieria mecànica a la biomecánica. Açò ajuda a explicar gran varietat de fenomens, per eixemple per qué a grans mamífers com els elefants els costa més gelar-se, que als més menuts, com les rates, i per qué hi ha llímits fonamentals per al tamany dels castells d'arena .

Descripció

La llei de la quadrada-gaveta pot enunciar-se com seguix:

Quan un objecte se somet a un aument proporcional en tamany, el seu nou volum és proporcional a la gaveta del multiplicador i la seua nova superfície és proporcional al quadrat del multiplicador.

Representa matemàticament:

$v_2=v_1{\left(\frac{{\ell }_2}{{\ell }_1}\right)}^3$

a on $v_1$ és el volum original, $v_2$ és el nou volum, ${\ell }_1$ és la llongitut original i ${\ell }_2$ és la nova llongitut.

$A_2=A_1{\left(\frac{{\ell }_2}{{\ell }_1}\right)}^2$

a on $A_1$ és l'àrea original i $A_2$ és la nova àrea.

Per eixemple, un bloc simètric i homogéneu en una aresta (llongitut lateral) d'1 metro, té una superfície de 6 m ² i un volum d'1 m ³ . Si les dimensions de l'objecte es dupliquen (multiplicador = 2) el seu nou volum serà 8 m³, mentres que la seua nova superfície serà 24 m². Com es pot observar la relació entre volum i àrea canvia de forma significativa en modificar l'escala. Este principi s'aplica a tots els sòlits.

Ingenieria

Quan a un objecte físic, mantenint la mateixa densitat, se li engrandix, la seua massa s'incrementa per la gaveta del multiplicador, mentres que la seua superfície només aumenta pel quadrat de dit multiplicador. Açò significa que quan l'objecte final s'accelera al mateix ritme que l'original, més pressió s'eixercix sobre la superfície del mateix. Vejam un eixemple simple d'un cos de massa M, en una acceleració a, i una superfície A, sobre la que actua la força d'acceleració. La força deguda a l'acceleració, $F=Ma$; i la pressió d'espente:

Ara, anem a considerar l'objecte aumentat per un factor multiplicador = x per tant la nova massa seria, $M^{\prime }=x^{3}M$, i la nova superfície sobre la que la força està actuant, $A^{\prime }=x^{2}A$. La nova força deguda a l'acceleració $F^{\prime }=x^{3}Ma$ i la pressió d'espente resultant,

Per lo tant, l'aument del tamany d'un objecte, mantenint el mateix material de construcció (densitat), i la mateixa acceleració, podria aumentar l'espente pel mateix factor d'escala. Açò indicaria per qué l'objecte tindria menys capacitat per a resistir l'estrés i seria més propens al colapse mentres s'accelera.

Per esta raó vehículs de gran tamany donen baix rendiment en les proves de choc i per qué hi ha llímits sobre l'altura dels edificis. De la mateixa manera, quant major és un objecte, atres objectes menuts resistixen menys el seu moviment, evitant que desaccelere.

Eixemples en ingenieria

En l'Airbus A380 les ales i superfícies de control (timons i elevadors) són relativament grans en comparació al fuselage de l'avió. En un Boeing 737 estes relacions semblen ser molt més "proporcionades", pero si el disseny de el A380 haguera segut un mer aument de les dimensions del disseny del 737, resultarien ales massa chicotetes per al pes de l'aeronau.

Un clipper necessita relativament més superfície de vés-la que un sloop per a alcançar la mateixa velocitat, és dir, hi ha major relació entre la superfície de les veles que entre la relació de pesos.