Llímit de Tsirelson

El llímit de Tsirelson és un llímit superior de correlació entre events dins del marc de la Mecànica Quàntica. Ya que la Mecànica Quàntica és una teoria que no posseïx realisme local i viola les desigualtats de Bell. La pregunta que cal fer-se llavors, és: ¿Cóm de no-local pot aplegar a ser la Mecànica Quàntica?, o més precisament, en quina mida es violen les desigualtats de Bell. El llímit de Tsirelson és la resposta a eixes preguntes, que resulta ser menor que el llímit algebraic possible.

Els llímits de Tsirelson reben eixe nom per Boris S. Tsirelson (Cirel'són, en atres transliteraciones), l'autor del primer artícul en el que es va calcular un d'estos llímits.

Llímit de Tsirelson per a la Desigualtat CHSH

El primer llímit de Tsirelson es va obtindre com un llímit superior en la correlació de les mides en la Desigualtat CHSH. Segons ell, si tenim quatre observables (hermíticos) dicotòmics $A_0$, $A_1$, $B_0$, $B_1$ (i.i., dos observables para Alice i dos para Bob) que tenen com a resultat $+1,-1$ complint que $[A_i,B_j]=0$ per a tots $i,j$, llavors:

$⟨A_0{B}_0⟩+⟨A_0{B}_1⟩+⟨A_1{B}_0⟩-⟨A_1{B}_1⟩\le 2\sqrt{2}$

En contrast en el llímit clàssic (local), el valor del qual és 2. Este llímit de Tsirelson s'obté si Alice i Bob realisen mides en un Qubit, el sistema no-trivial quàntic més simple.

S'han desenrollat varietat de proves per a demostrar este llímit, una de les més rellevants és la basada en l'identitat de Khalfin-Tsirelson-Landau. Si definim un observable:

$ℬ=A_0{B}_0+A_0{B}_1+A_1{B}_0-A_1{B}_1$

i $A_i^2=B_j^2=𝕀$, i.i., si els valors dels observables estan associats a mides proyectivas, llavors:

${ℬ}^2=4𝕀-[A_0,A_1][B_0,B_1]$

Si $[A_0,A_1]=0$ o $[B_0,B_1]=0$, en el cas clàssic $⟨ℬ⟩\le 2$. En el cas quàntic, es té que $\Vert [A_0,A_1]\Vert \le 2\Vert A_0\Vert \Vert A_1\Vert \le 2$ i el llímit de Tsirelson $⟨ℬ⟩\le 2\sqrt{2}$.

Llímit de Tsirelson per a atres desigualtats de Bell

Obtindre el llímit de Tsirelson per a una desigualtat de Bell qualsevol sol ser un problema molt difícil i que es resol cas a cas, encara que hi ha métodos numèrics per a generar algunes interpretacions.

Alguns valors obtinguts per a llímits de Tsirelson són:

Per a desigualtats de Braunstein-Caves:

$⟨B{C}_n⟩\le n\cos (\pi /n)$

Per a desigualtats WWŻB:

$⟨WWZ{B}_n⟩\le 2^{\frac{n-1}{2}}$

Trobar llímits de Tsirelson per a diferents desigualtats és un problema obert i difícil d'afrontar en l'Informació Quàntica en l'actualitat.

Vore també

• Teorema de Bell
• Paradoxa EPR
• Desigualtat CHSH