Lema de Schur

En matemàtiques, el lema de Schur és una proposició elemental molt utilisada en la teoria de representacions de grups i àlgebras. En el cas de grups este diu que si M i N són dos representacions irreducibles de dimensió finita d'un grup G i φ és un mapage llineal de M a N que commuta en l'acció del grup, llavors φ és invertible, o φ = 0. Un cas especial ocorre quan M = N i φ és un automapeo. El lema du el nom d'Issai Schur, qui ho va usar per a provar les relacions de ortogonalidad de Schur i va desenrollar les bases de la teoria de representacions de grups finitos. El lema de Schur admet generalisacions cap als grups de Lie i l'àlgebra de Lie.

Formulació en el llenguage de mòduls

Si M i N són dos mòduls simples sobre un anell R, llavors qualsevol homomorfisme f: M → N de R-mòduls és invertible o zero. En particular, l'anell d'endomorfisme d'un mòdul simple és un anell de divisió.

La condició f és un homomorfisme del mòdul significa que

$f(rm)=rf(m)$ per a tota $m$ en $M$ i $r$ en $R.$

La versió del grup és un cas especial de la versió del mòdul, ya que qualsevol representació d'un grup G pot ser vista equivalentemente com un mòdul sobre l'anell del grup de G.

El lema de Schur s'aplica freqüentment en el següent cas particular. Supongam que R és un àlgebra sobre el camp C dels número complejo i M = N és un mòdul simple de dimensió finita sobre R. Llavors el lema de Schur diu que l'endomorfisme del mòdul "M" és un anell de divisió; este anell de divisió conté a C en el seu centre, és de dimensió finita sobre C i per lo tant és igual a C. Aixina, l'anell d'endomorfisme del mòdul M és "tan chicotet com és possible". Més encara, este resultat es complix per a les àlgebra sobre qualsevol camp algebraicamente tancat i per a mòduls simples que són als més de dimensió numerable. Quan el camp no és algebraicamente tancat, el cas a on l'anell de l'endomorfisme és tan chicotet com és possible és d'interés particular: Un mòdul simple sobre la k-àlgebra es diu ser absolutament simple si el seu anell de endomorfismismo és isomorfo a k. Açò és en general més fort que ser irreducible sobre el camp k, i implica que el mòdul és irreducible sempre sobre el pany algebraic de k.

Forma matricial

Si A, B són dos representacions irreducibles d'un grup G i T és una matriu tal que $TA(g)=B(g)T$ per a qualsevol element g del grup G, llavors T és invertible o és la matriu nula.

El lema de Schur, en el cas especial d'una sola representació, afirma lo següent. Si A és una matriu complexa d'orde n que commuta en totes les matrius de G llavors A és una matriu escalar. Com un corolari, cada representació complexa irreducible d'un grup Abeliano és unidimensional.

Referències

David S. Dummit, Richard M. Foote. Abstract Algebra. 2nd ed., pg. 337.