Integral multiplicativa

En calcule infinitesimal la integral multiplicativa és una versió multiplicativa de l'integral. Varen ser desenrollades per primera volta pel biòlec i matemàtic Vito Volterra en la década de 1890 per a resoldre sistemes d'equacions diferencials. Des de llavors les integrals multiplicativas han segut d'utilitat en àrees que van des de l'epidemiologia (Estimador de Kaplan-Meier) fins a la dinàmica estocàstica de poblacions (multigrales), l'anàlisis i inclús en mecànica quàntica.

Les integrals multiplicativas mai han tingut un tractament important en el desenroll de les matemàtiques, provablement per la notació poc intuïtiva que va utilisar Volterra. Fins a la data, periòdicament s'han anat redescubriendo les integrals multiplicativas i ha anat creixent una marejant gama de terminologia i notació.

En este artícul s'utilisa la notació «producte» $\prod$ per a indicar l'integral multiplicativa en lloc de la «integral» $\int$ (normalment modificada en un símbol superpost de «multiplicació» o la lletra P) que és lo que preferien Volterra i uns atres. També s'ha adoptat una classificació arbitrària dels tipos d'integrals multiplicativas per a impondre una miqueta d'orde en este camp.

Definicions bàsiques

En la seua forma més bàsica les integrals poden entendre's com el llímit d'una série que calcula l'àrea tancada baix del gràfic de la funció $f(x)$

$\int f(x)dx=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sum f(x_i)\Delta x$

Les integrals multiplicativas són similars només que en lloc de calcular el llímit d'una suma, calculen el llímit d'un producte.

$\prod _{{}_a^b}f(x{)}^{dx}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\prod f(x_i{)}^{\Delta x}$

Es pot entendre com un producte «continu» en lloc d'un producte «discret».

Ara be, a diferència de les integrals normals, existixen diferents tipos d'integrals multiplicativas, que per la falta de terminologia àmpliament acceptada, es designaran de forma arbitrària com els Tipos I fins a III de més avall.

Tipo I:

$\prod _{{}_a^b}f(x{)}^{dx}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\prod f(x_i{)}^{\Delta x}=\exp (\underset{a}{\overset{b}{\int }}\ln (f(x))dx)$

Tipo II:

$\prod _{{}_a^b}1+f(x)dx=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\prod (1+f(x_i)\Delta x)$

Tipo III (sense dx):

$\prod _{{}_a^b}f(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\prod f(x_i)=\exp (\underset{a}{\overset{b}{\int }}\ln (f(x)))$

(nota: cal determinar les condicions en les que $f(x),a,b$ convergix i en el cas de l'últim tipo també deu descriure's la partició del domini per a calcular el llímit)

Els arguments ($x$) de les expressions de dalt poden ser tant variables reals com a matrius (vore les referències de Gill més avall).

Eixemple

$\prod _{{}_1^2}{x}^{dx}=\exp (\underset{a}{\overset{b}{\int }}\ln (x)dx)=\exp (x\ln (x)-x{)}_1^2=4/e$

Resultats

Igual que en les integrals normals, les integrals multiplicativas tenen resultats equivalents (per a f(x), a, b adequats) com són:

• La teorema fonamental

$\prod _{{}_a^b}{f}^{*}(x{)}^{dx}=\prod _{{}_a^b}\prod \exp \left(\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx\right)=\frac{f(b)}{f(a)}$

a on $f^{*}(x)=\exp (f^{\prime }(x)/f(x))$ és la derivada multiplicativa (o m-derivada).

• Regla del producte

$(fg{)}^{*}=f^{*}{g}^{*}$

• Regla del cocient

$(f/g{)}^{*}=f^{*}/g^{*}$

• Llei dels grans números

$\sqrt[n]{X_1\cdot X_2\cdot \dots \cdot X_n}\to \prod _x^{}{X}^{\mathrm{Pr}(x)dx}\text{cuando}n\to \mathrm{\infty }$

sent X una variable aleatòria de distribució de probabilitad Pr(x)).

Comparació en la llei dels grans números estàndar:

$\frac{X_1+X_2+\dots +X_n}{n}\to \int X\cdot \mathrm{Pr}(x)dx\text{cuando}n\to \mathrm{\infty }$

(Note's que lo que s'expon més dalt és pel tipo I d'integrals multiplicativas. Els atres tipos donen atres resultats).

Referències

• W. P. Davis, J. A. Chatfield, "Concerning Product Integrals and Exponentials" Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 25, No. 4 (Aug., 1970), pp. 743-747, doi:10.2307/2036741
• Volterra, V., Hostinsky, B, "Operations Infinitesimals Lineaires", Gauthier-Villars, Paris (1938).
• Dollard, John D., Friedman, Charles, N., "Product integrals and the Schrödinger Equation", Journ. Math. Phys. 18 #8,1598-1607 (1977).