Impedència acústica

L'impedència acústica (Z) és la resistència que opon un mig a les ones sonores que es propaguen sobre est i per lo tant és equivalent a l'impedència elèctrica, és dir una forma de malbarat d'energia de les ones que es desplacen en un mig. Es definix com la raó entre la pressió sonora (p) i la velocitat de les partícules (v) d'un mig material. L'impedència acústica és una propietat d'estat intensiva.

Z = \frac{p}{v}

l'impedència característica d'un material pot calcular-se com el producte entre la densitat ( $ρ$ ) i la velocitat del sò (c) en el material (c = 344 m/s, únicament quan les ones sonores es propaguen en l'aire, no quan es propaguen en atres materials com a cuerdo o barres).

Z_{0} = ρ \cdot c

És important no confondre v (velocitat de les partícules) en c (velocitat del sò).

El nom de 'impedència acústica' ve de l'analogia en la llei de Ohm de teoria de circuits, en lo que s'enuncia una 'llei de Ohm acústica', en la que la pressió sonora juga el paper d'un potencial elèctric i la velocitat v el d'una corrent elèctrica.

Una atra relació útil és:

Z = \frac{J}{v^{2}} = \frac{p^{2}}{J}

a on J és l'intensitat sonora i juga un paper anàlec a aquell de la potència elèctrica.

Impedència d'un tubo unidimensional

Considerem un camp acústic unidimensional, que s'estén sobre eix $x$ i es troba excitat per un pistó, el qual oscila armónicamente segons la llei $ξ = ξ_{0} e^{j ω t}$ . El camp acústic en qüestió respecta una equació d'ona del tipo:

\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} p}{\partial t^{2}} - \frac{\partial^{2} p}{\partial x^{2}} = 0

Per supost, si el decorregut es considera sense viscosidad i ademés existix una absència de moviment macroscòpic de les seues partícules, est pot ser modelat per una simplificació de l'equació de Navier-Stokes.

ρ \frac{\partial v}{\partial t} = - \frac{\partial p}{\partial x}

Evidentment, la solució del camp acústic està determinada per una Condició de frontera de Neumann, és dir, com el decorregut en immediat contacte en el pisto compartix la velocitat d'est, la derivada parcial de la pressió respecte a $x$ és una senya en la frontera $x = 0$ . Açò es coneix com condició de frontera.

Per ser $p$ una ona viajante, esta deu tindre la forma $p = p_{0} e^{j (ω t - k x)}$ . Açò nos permet posar en evidència la relació:

(p = p_{0} e^{j (ω t - k x)} \land ξ = ξ_{0} e^{j ω t} \land v = v_{0} e^{j ω t} = j ω ξ) \Rightarrow ρ j ω v_{0} e^{j ω t} = j k p_{0} e^{j ω t}

Per lo que podem escriure l'intensitat del camp acústic com:

p_{0} = \frac{ρ ω v_{0}}{k}

o també gràcies a $k c = ω$ :

p_{0} = ρ c v_{0}

El camp excitant, és dir, el pistó, es troba eixercint una pressió $p_{0}$ sobre un decorregut, i conseguix donar-li a est una velocitat $v_{0}$ , observara que l'impedència acústica és:

Z = \frac{p}{v} = ρ c

Impedència d'un oscilador harmònic

Considerem un pistó conectat a un resort i a un esmortidor, a manera d'oscilador harmònic llineal, el qual posseïx una superfície banyada per un decorregut que servix de mig per al camp acústic $p = p_{0} e^{j (ω t - k x)}$ , que forçarà a l'oscilador. El camp acústic sofrirà un rebot en chocar contra el pistó, per lo que és correcte considerar a este com

p = p_{0} e^{j (ω t - k x)} + p_{r} e^{j (ω t + k x)}

el camp acústic està igualment excitat pel pistó, i es complix la relació

ρ \frac{\partial v}{\partial t} = - \frac{\partial p}{\partial x}

per lo que podem escriure en $x = 0$ :

ρ \frac{d^{2} ξ}{d t^{2}} = - {(\frac{\partial p}{\partial x})}_{x = 0}

ρ \ddot{ξ} = j (p_{0} - p_{r}) k

Llavors el camp acústic està donat per:

p (x, t) = p_{o} (e^{- j k x} + e^{j k x}) e^{j ω t} + \frac{j ρ c \ddot{ξ}}{ω} e^{j (ω t + k x)}

en $x = 0$ tenim que l'equació de l'oscilador és:

m \ddot{ξ} + r \dot{ξ} + s ξ = 2 p_{0} e^{j ω t} + \frac{j ρ c \ddot{ξ}}{ω}

La solució d'esta equació diferencial llineal deu ser forçosament $ξ = ξ_{0} e^{j ω t}$ . Per la qual cosa:

ξ_{0} [- m ω^{2} + j ω r + s + j ω ρ c] = 2 p_{o} A

Per ser $ξ_{0} = \frac{v_{0}}{j ω}$

Z = \frac{p}{v} = (\frac{- m ω^{2} + s}{j ω}) + r + ρ c

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Impedancia acústica» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.