Grup de trenes

Cada u dels 24 elements de S₄ expressats per mig d'una 4-trena. Esta expressió no és única: existixen infinites alternatives per a cada element, puix B₄ és un grup infinit.

En matemàtiques, el grup de trenes de n bri, també cridat grup de n-trenes o grup de Artin, notat per B_n, supon una generalisació del grup simètric S_n introduïda explícitament per Emil Artin en 1925.

Cada element del grup (trena) admet una representació geomètrica intuïtiva en la que este es visualisa com un conjunt de n bri que unixen els n elements situats en una fila en les seues imàgens reordenadas situades en una fila paralela. Una trena reunix informació topològica sobre la forma en que estos bri s'entrecreuen.

Per a $n\ge 2$, B_n és un grup infinit. B₂ és un grup cíclico i per a $n\ge 3$, B_n és no abeliano.

Els grups de trenes tenen aplicació en teoria de nucs, puix segons la Teorema d'Alexander, tot nuc o enllaç pot construir-se com el tancament (en un sentit precisat per la teorema) d'una trena.

L'eixemple de B₄

Considerem dos conjunts cada u de quatre objectes situats en una taula. Dibuixarem els objectes de cada conjunt alineats verticalment. Usant quatre bri, cada objecte del primer conjunt quedarà conectat en un objecte del segon. Cridarem trena a un conjunt d'estes quatre conexions.

Elements del grup

A sovint els bri tindran que passar una sobre unes atres, i este detall és crucial, puix distints creus poden donar lloc a diferents trenes:

The braid sigma_1^(-1)

és diferent de

The braid sigma_1

Per un atre costat, dos conexions aparentment distintes poden representar la mateixa trena si tensem els extrems:

The braid sigma_1^(-1)

és la mateixa que

Another representation of sigma_1^(-1)

Tots els bri deuen moure's d'esquerra a dreta, per a evitar la formació de "nucs" com el de la figura, que no són considerats trenes:

Not a braid

no és una trena

Composició, element neutre i invers

Qualsevol parella de trenes pot compondre's dibuixant una a continuació de l'atra, identificant els quatre punts intermijos:

Archiu:Braid s1 inv s3 inv.png

composta en

Archiu:Braid s1 s3 inv.png

és igual a:

Archiu:Braid s3 inv squared.png

L'anterior composició convertix al conjunt de trenes en un grup. l'element neutre és la trena que consta de 4 bri horisontals i paraleles. l'element invers d'una trena és la trena que desfà lo que va fer la primera.

Generadors i relacions

Observem estos tres elements:

Archiu:Braid s1.png	Archiu:Braid s2.png	Archiu:Braid s3.png
σ1	σ2	σ3

Es demostra que qualsevol trena de B₄ pot expressar-se com a composició dels elements anteriors i els seus inversos. És dir, estes 3 trenes generen el grup B₄.

Sobre les seues relacions, és clar que:

σ₁σ₃ = σ₃σ₁,

mentres estes relacions no són tan òbvies:

σ₁σ₂σ₁ = σ₂σ₁σ₂

σ₂σ₃σ₂ = σ₃σ₂σ₃

Els anteriors generadors junt en estes relacions formen una presentació de B₄.

Definició algebraica de B_n

Generalisant este eixemple al cas de n bri, podem definir de modo abstracte el grup B_n per mig d'esta presentació:

• Generadors: σ₁,...,σ_n−1
• Relacions: (conegudes com a relacions de Artin):
  • σ_i σ_j = σ_j σ_i quan |i − j| ≥ 2 ;
  • σ_i σ_i+1 σ_i = σ_i+1 σ_i σ_i+1 per a i = 1,..., n − 2 (a voltes cridada equació de Yang-Baxter)

Recordem que el grup simètric S_n té una presentació molt pareguda: en ella apareixen les relacions de Artin junt en les relacions

σ_i² = 1 per a i = 1, ..., n − 1

En el cas del grup simètric, les σ_i poden visualisar-se com trasposiciones de dos elements contigus.