Garbell de Sundaram

El garbell de Sundaram és una taula dels número natural impar composts, composta per progressions aritmètiques organisades en columnes. El garbell es basa en el principi de que, en determinar el conjunt dels número compuesto impars, es pot deduir el conjunt dels número primo. La n-ésima columna té per primer terme (2n + 1)² i per diferència entre térmens consecutius d = 4n + 2. Qualsevol número impar, distint d'1, que no es trobe en la taula, és primer.

Considere's un número compuesto impar de la forma $n=(2p+1)(2q+1)$, a on p i q són número natural i $q=p+k$ per a algun k natural. Llavors,

$n=(2p+1)(2p+2k+1)[1]=4p^2+4p+4kp+2k+1=(2p+1{)}^2+2\cdot (2p+1)\cdot k$

en lo que n es trobaria en la p-ésima columna i la k-ésima fila

En fer variar p i k a lo llarc de $\mathbb{N}$ s'obté el conjunt dels números que són producte de dos impar que es troben en la taula.

9
15	25
21	35	49
27	45	63	81
33	55	77	99	121
39	65	91	117	143	169
45	75	105	135	165	195	225
51	85	119	153	187	221	255	289
57	95	133	171	209	247	285	323	361
63	105	147	189	231	273	315	357	399	441
69	115	161	207	253	299	345	391	437	483	529
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

Sundaram era un matemàtic de l'Índia. El garbell que va publicar en 1934 era alguna cosa diferent al model ací presentat.

Una forma quadràtica associada

La forma quadràtica $p={(k+2j+1)}^2-k^2,conk\in \mathbb{N}yj\in \mathbb{N},$ té per lo manco un parell (k, j) de solucions en número natural, per a cada valor de p compost. Quan p és compost, k pot prendre qualsevol valor natural i també pot ser nul, si el número p és un quadrat. El valor de j sempre és distint de zero per a p compost. Una solució (k, j) única, en j = 0, indica que p és un número primo en $\mathbb{Z}$.

Si desenrollem el quadrat, el resultat és anàlec a l'expressió [1]: $p={(k+2j+1)}^2-k^2=(2j+1)(2k+2j+1)$.

Les solucions de la forma quadràtica no estan acotades encara, per lo que esta fòrmula no pot utilisar-se per a determinar la primalidad d'un número. El garbell constituïx un método casi de "força bruta", també impracticable per a números molt grans.

Una relació d'equivalència

Si reordenamos el garbell de Sundaram i l'escrivim d'una manera diferent, podem dividir als número compuesto en classes disjuntas:

El criteri a seguir consistix en agrupar els números que tenen un mateix divisor mínim. Comencem pel 9, que és un quadrat i seguim en tots els múltiples de 3 que no continguen factors pares. Seguim en 25, que també és un quadrat, i agrupem tots els múltiples de 5 que no tinguen factors menors que 5. I aixina successivament (Observe's que 81 està, ara, en la classe que comencem en 9). Totes estes classes de número natural composts queden agrupades en subconjunts disjuntos dos a dos.

Ara ampliem alguna cosa més el contingut del garbell. Coloquem al mínim divisor com a precedent de cada quadrat i ho acceptem com a representant de la classe (és el divisor mínim comú de la classe). Ademés, agreguem el 2 i tots els parells com una classe adicional i tenim, llavors, a tots els número natural -llevat l'1- dividits en classes disjuntas. Açò indica que s'ha realisat un cocient de $\mathbb{N}-\{1\}$ per una relació d'equivalència. Els representants d'eixes classes són els número primo.

Referències

• Ingenuity in Mathematics – Ross Honsberger – Mathematical Association of Amèrica – 1970 – (Colecció: New Mathematical Library N° 23) – pàgina 75.