Fòrmula proposicional

En la llògica proposicional,una fòrmula proposicional és un tipo de fòrmula sintàctica la qual està ben formada i té un valor verdader. Si els valors de totes les variables en una fòrmula proposicional són donats, és determinat un únic valor verdader. Una fòrmula proposicional també pot ser cridada una expressió proposicional, una frase, o una fòrmula sentencial.

Una fòrmula proposicional és construïda per una simple proposició, com "5 és major que 3" o variables proposicionals com a P i Q, usant conectors com NO, I, O i IMPLICADORES.

1. (P I NO Q) IMPLICA (P O Q).

En mátematicas, una fòrmula proposicional és a sovint més breument referit a una "proposició", pero, més precisament, una fòrmula proposicional no és una proposició pero una expressió formal que denota una proposició, un objecte formal baix discussió, de la mateixa manera que una expressió com "x + i" no és un valor. En alguns contexts, mantindre la distinció pot ser important.

Proposicions

A los efectos de el càlcul proposicional, les proposicions (enunciats, oracions, asserció) es consideren simples o compostes. Les proposicions compostes es consideren vinculades per conexions oracional, algunes de les més comunes són "I", "O", "SI ... ENTONCES ...", "NI ... NI ...", "... ES EQUIVALENTE A ...". El punt i menge d'enllaç ";" i el conector "PERO" es consideren expressions de "AND". Es considera que una seqüència d'oracions discretes està vinculada per "I", i l'anàlisis formal aplica una "regla de paréntesis" recursiva sobre seqüències de proposicions simples (vore més avall sobre fòrmules ben formades).

Les proposicions simples són de caràcter declarativo, és dir, fan asseveracions sobre la condició o naturalea d'un objecte de sensació particular, per eixemple. "Esta vaca és blava", "¡Hi ha un coyot!" ("Eixe coyot està allí, darrere de les roques"). Per lo tant, les afirmacions simples "primitives" deuen referir-se a objectes específics o estats mentals específics. Cada u deu tindre a lo manco un subjecte (un objecte immediat de pensament o observació), un verp (en la veu activa i el temps present preferit), i potser un adjectiu o adverbi. "¡Gos!" provablement implica "Veig un gos", pero deu rebujar-se per ser massa ambigu.

Als fins del càlcul proposicional, una proposició composta generalment pot refórmularse en una série d'oracions simples, encara que el resultat provablement sonarà forçat.

Relació entre fòrmules proposicionals i predicats

El càlcul de predicats va un pas més allà del càlcul proposicional cap a un "anàlisis de la estructura interna de proposicions" . Es dividix una oració simple en dos parts (i) el seu subjecte (l'objecte (singular o plural) del discurs) i (ii) un predicat (un verp o possiblement clàusula verbal que afirma una qualitat o atribut de l'objecte (s)). El càlcul de predicats després generalisa la forma "subjecte | predicat" (a on | simbolisa la concatenació (encadenament) de símbols) en una forma en la següent estructura de subjecte en blanc "___ | predicat", i el predicat a la seua volta es generalisa a totes les coses en eixa propietat.

La generalisació de "este porc" a un (potencial) membre de dos classes "coses aladas" i "coses blaves" significa que té una relació de veres en abdós classes. En atres paraules, donat un domini del discurs "coses aladas", o trobem que p és un membre d'este domini o no. Per lo tant, tenim una relació W (alada) entre p (pig) i {T, F},W (p) s'evalua com a {T, F}. De la mateixa manera per a B (blava) i p (porc) i { T, F}: B (p) evalua a {T, F}. Llavors, ara podem analisar les asserció conectades "B (p) AND W (p)" per al seu valor de veres general, és dir:

En particular, les oracions simples que ampren nocions de "tots", "alguns", "uns pocs", "un de", etc. són tractats pel càlcul de predicats. Junt en el nou simbolisme de funció "F (x)" s'introduïxen dos nous símbols: ∀ (Para tots), i ∃ (Existix ..., A lo manco un de ... existix, etc.). El càlcul del predicat, pero no el càlcul proposicional, pot establir la validea formal de la següent afirmació:

Identitat

Tarski afirma que la noció de IDENTIDAD (a diferència de la EQUIVALENCIA LÓGICA) es troba fòra del càlcul proposicional; no obstant, senyala que si una llògica deu ser útil per a les matemàtiques i les ciències, deu contindre una "teoria" de IDENTIDAD. Alguns autors es referixen a "llògica de predicats en identitat" per a emfatisar esta extensió. Vore més sobre açò a continuació.

Un àlgebra de proposicions, el càlcul proposicional

Un àlgebra (i hi ha molts diferents), definida de manera vaga, és un método per mig del qual una colecció de símbols crida variables junt en alguns atres símbols com a paréntesis (, ) i algun subconjunt de símbols com *, +, , &, ∨, =, ≡, ∧, ¬ són manipulats dins d'un sistema de regles. Es diu que estos símbols i cadenes ben formades d'ells representen objectes, pero en un sistema algebraic específic, estos objectes no tenen significats. Aixina, el treball dins de l'àlgebra es convertix en un eixercici per a obedir certes lleis (regles) de la sintaxis de l'àlgebra (formació de símbols) més que en la semàntica (significat) dels símbols. Els significats es troben fòra de l'àlgebra.

Per a que una seqüència de símbols ben formada en l'àlgebra -una fòrmula- tinga certa utilitat fòra de l'àlgebra, als símbols se'ls assignen significats i, finalment, a les variables se'ls assignen valors; després, per mig d'una série de regles, es evalua la fòrmula.

Quan els valors es restringixen a sol dos i s'apliquen a la noció de oracions simples (per eixemple, declaracions verbals o afirmacions escrites) vinculades per conectivos proposicionals, este sistema algebraic complet de símbols i regles i métodos d'evaluació es denomina càlcul proposicional o càlcul sentencial .

Si ben algunes de les regles familiars de l'àlgebra aritmètica continuen vigents en l'àlgebra de proposicions (per eixemple, les lleis conmutativa i associativa per a AND i OR), unes atres no (per eixemple, les lleis distributivas per a AND, OR i NOT).

Utilitat de fòrmules proposicionals

Anàlisis: en el raonament deductivo, els filòsofs, els retòrics i els matemàtics reduïxen els arguments a les fòrmules i després les estudien (generalment en taules de veres) per a la correcció (solidea). Per eixemple: ¿Sona el següent argument?

"Ya que la consciència és suficient per a una inteligència artificial i solament les entitats conscients poden passar la prova de Turing, ans que pugam concloure que un robot és una inteligència artificial, el robot deu passar la prova de Turing".

Els ingeniers analisen els circuits llògics que han dissenyat utilisant tècniques de síntesis i després apliquen diverses tècniques de reducció i minimisació per a simplificar els seus dissenys.

Síntesis: els ingeniers en particular sintetisen fòrmules proposicionals (que eventualment terminen com a circuits de símbols) a partir de taules de veres. Per eixemple, un podria escriure una taula de veres sobre cóm deuria comportar-se l'adició binaria donada l'adició de les variables "b" i "a" i "carry_in" "ci", i els resultats "carry_out" "co" i "sum" Σ :

• Eixemple: en la fila 5, ((b + a) + ci) = ((1 + 0) + 1) = el número "2". escrit com un número binario açò és 102, a on "co" = 1 i Σ = 0 com es mostra en les columnes més a la dreta.

row	b	a !ci		(b+a)+ci	co	Σ
0	0	0	0		0	0	0
1	0	0	1		1	0	1
2	0	1	0		1	0	1
3	0	1	1		2	1	0
4	1	0	0		1	0	1
5	1	0	1		2	1	0
6	1	1	0		2	1	0
7	1	1	1		3	1	1

Variables proposicionals

El tipo més simple de fòrmula proposicional és una variable proposicional. Les proposicions que són simples (atòmicas), expressions simbòliques a sovint es denoten per les variables anomenades a, b, o A, B, etc. Una variable proposicional pretén representar una proposició atòmica (asserció), com "És dissabte" = a (ací el símbol = significa "... se li assigna la variable anomenada ...") o "Solament vaig al cine el dilluns" = b.

Assignació de valor de veres, evaluacions de fòrmula

L'evaluació d'una fòrmula proposicional comença en l'assignació d'un valor de veres a cada variable. Degut a que cada variable representa una oració simple, els valors de veres s'estan aplicant a la "veritat" o "falsetat" d'estes oracions simples.

Valors de veres en retòrica, filosofia i matemàtiques: els valors de veres són solament dos: {VERDAD "T", FALSA "F"}. Un empirista posa totes les proposicions en dos àmplies classes: analític-verdader sense importar qué (per eixemple, tautologia) i sintètic-derivat de l'experiència i, per lo tant, susceptible de confirmació per part de tercers (la teoria de la verificació del significat). Els empiricits sostenen que, en general, per a aplegar al valor de veres d'una proposició sintètica, primer es deuen aplicar significats (plantilles de coincidència de patrons) a les paraules, i després estes plantilles de significat deuen comparar-se en lo que siga que s'estiga afirmat Per eixemple, el meu enunciat "¡Eixa vaca és blava!" ¿És esta declaració una VERDAD? Verdaderament ho vaig dir. I tal volta estic veent una vaca blava; a menos que menta, la meua afirmació és una VERDAD relativa al objeto de la meua percepció (potser defectuosa). Pero, ¿està la vaca blava "realment allí"? ¿Qué veus quan mires per la mateixa finestra? Per a procedir en una verificació, necessitarà una noció prèvia (una plantilla) de "vaca" i "blau", i una capacitat per a fer coincidir les plantilles en l'objecte de la sensació (si és que existix).

Valors de la veritat en l'ingenieria: els ingeniers intenten evitar les nocions de veres i falsetat que acossen als filòsofs, pero en l'anàlisis final, els ingeniers deuen confiar en els seus instruments de medició. En la seua busca de robustea, els ingeniers preferixen extraure objectes coneguts d'una chicoteta biblioteca, objectes que tenen comportaments ben definits i predibles inclús en grans combinacions (d'ahí el seu nom per al càlcul proposicional: "llògica combinatòria"). La menor cantitat de comportaments d'un sol objecte són dos (per eixemple, {APAGADO, ENCENDIDO}, {obert, tancat}, {ARRIBA, ABAJO} etc.), i estos es coloquen en correspondència en {0, 1}. Tals elements es diuen digitalés; aquells en un ranc continu de comportaments es diuen anàlecs. Sempre que les decisions es prenguen en un sistema analògic, molt a sovint un ingenier convertirà un comportament analògic (la porta és 45.32146% UP) a digital (per eixemple, DOWN = 0) per mig de l'us d'un comparador.

Per lo tant, una assignació de significat de les variables i els dos símbols de valor {0, 1} prové de "fòra" de la fòrmula que representa el comportament de l'objecte compost (generalment). Un eixemple és una porta de garaig en dos "interruptors de llímit", un per a UP etiquetage SW_O i un per a DOWN etiquetage SW_D, i qualsevol atra cosa que estiga en els circuits de la porta. L'inspecció del circuit (ya siga el diagrama o els propis objectes reals-porta, interruptors, cables, placa de circuits, etc.) podria revelar que, en la placa de circuit, el "nodo 22" pansa a +0 volts quan els contactes de l'interruptor "SW_D" "estan mecánicamente en contacte (" tancat ") i la porta està en la posició" avall "(95% cap a avall), i" nodo 29 "va a +0 volts quan la porta està 95% ARRIBA i els contactes de l'interruptor SW_O són en contacte mecànic ("tancat"). L'ingenier deu definir el significat d'estos voltages i totes les combinacions possibles (els 4), inclosos els "mals" (per eixemple, abdós nodos 22 i 29 a 0 volts, lo que significa que la porta està oberta i tancada al mateix temps) . El circuit respon sense pensar a qualsevol voltage que experimente sense cap coneiximent de la VERDAD o FALSA, CORRECTO o EQUIVOCADO, SEGURO o PELIGROSO.