Método de Maza - Cruickshank

Caixer de montanya, les vores de la qual són de roca o en roques grans. Pot dir-se que este caixer té una estabilitat estàtica.

Les màrgens d'este riu són arcillosas i oferixen una gran resistència a l'erosió. Si s'altera el cabal formatiu i sobretot el transport de sediment provinents d'aigües dalt, l'ample podrà modificar-se, encara que este procés és més llent que en caixers arenencs. Algunes proteccions de les màrgens han segut construïdes. Pot dir-se que este és un cas d'estabilitat estàtica.

El método de Maza - Cruickshank, publicat en1973, analisa el comportament de cursos d'aigua. Es basa en el concepte de graus de llibertat de les corrents, i per tant, pren en conte la necessitat de tres equacions per a obtindre l'ample i tirant de la secció, i la pendent hidràulica del caixer estable.

Un curs d'aigua és un sistema molt complex, intervenen en ell un número gran de paràmetros interrelacionados. El canvi d'alguns d'estos paràmetros pot afectar molt significativament les condicions de escurrimiento que podien considerar-se estable. Alcançar una nova situació estable és un procés que pot demorar varis anys, o fins a decenis.

Condicions d'estabilitat

El terme de caixer estable o canal estable requerix d'una millor definició, per lo que s'ha sugerit considerar dos condicions d'estabilitat en rius formats per un sol caixer: estàtica i dinàmica.

Estabilitat estàtica

Es considera que un tram de riu té estabilitat estàtica quan la corrent no és capaç de moure ni d'arrastrar el material de les vores o ho fa en dificultat. En el fondo pot existir transport de sediment i també estar subjecte a erosió durant grans avingudes.

Eixemples de lo anterior són: els canals revestits, que es poden considerar com una condició extrema; els formats en material granular, quan el cabal líquit no pot moure-ho; les rieres de montanya en caixers formats per pedres grans i vores rodades que rara volta són arrastrats per la corrent; i els rius que corren per terrenys arcillosos que tenen alta cohesió. En estos últims encara que el fondo pot erosionar-se, les vores són molt resistents a l'erosió i per lo tant, els rius formats per este material casi no presenten desplaçaments laterals.

Archiu:CAPS 0 Du-sAB DistTownVu.jpg

Caixer en estabilitat dinàmica. La foto va ser presa en estiaje i per lo tant, són visibles els depòsits en l'interior de les curves. Quan aumenta el cabal, l'aigua escurre per un sol caixer abans de desbordar-se.

Estabilitat dinàmica

Un caixer té estabilitat dinàmica quan el cabal que transporta, els materials del fondo i de les màrgens, i els sediment transportats han format un únic caixer en una secció i pendent que no canvia apreciablemente d'any a any. Algunes alteracions ocorren a lo llarc d'un cicle anual, pero les característiques hidràuliques i geomètriques es mantenen pràcticament iguals despuix d'un cicle complet (any hidrològic). Estos conceptes són compatibles en la teoria de règim. Per lo tant un riu en règim és estable dinàmicament.

L'estabilitat dinàmica permet desplaçaments laterals dels caixers, pero presupon que el cabal escurra per un únic caixer.

En atres paraules, els rius en estabilitat dinàmica poden variar l'ample de la seua secció en funció del cabal líquit que escurre per ells. Deu considerar-se que eixos canvis són paulatins i més llents que les variacions del tirant; en efecte, el tirant canvia immediatament en canviar el cabal.

Tot el fluix escurre en un únic caixer i eixe caixer sofrix desplaçaments laterals que poden ocórrer en menor o major rapidea. Els desplaçaments laterals que es mencionen, ocorren en les màrgens exteriors de les curves i són més ràpits en les primeres etapes de desenroll d'una curva. Algunes erosió tenen lloc principalment en el centre de la curva, en lo que esta es desenrolla en la tendència a disminuir el radi de curvatura. En atres trams, en canvi, els màxims desplaçaments marginals ocorren a l'entrada o eixida de les curves, en lo que estes es poden desplaçar, sense canvis notables en la seua ràdio de curvatura, aigües dalt o aigües avall. Deu considerar-se sempre que, encara que es mencione "una" curva, els fenomens descrits ocorren en tot un tram de riu, i en ell existixen moltes curves. Lo que ocorre en una curva determinada està influenciat per lo que succeïx en les d'aigües dalt. Aixina mateix, els corriment d'una curva en particular afecten a l'immediata d'aigües avall. Cal tindre present que és impossible descriure totes les condicions que poden ocórrer en la naturalea, i per lo tant, solament es comenten alguns casos, procurant destacar els extrems, sabent que pot ocórrer qualsevol condició intermija.

Al mateix temps que una marge s'erosiona i desplaça lateralment, en l'oposta s'està sedimentando matèria, per lo que dita vora es desplaça en el mateix sentit que l'erosionada. Este fenomen de sedimentación garantisa que l'ample del caixer es conserve. En el temps, més sediment es deposita en els intradós de les curves, en lo que es conseguix alçar la marge fins a la mateixa elevació de tots els terrenys de la planicie.

Si els desplaçaments laterals són llents, és dir, que són graduals els processos d'erosió i sedimentación en una curva, no s'aprecia cap traça en prendre una fotografia aérea. Quan són molt ràpits es noten bandes concèntriques en l'interior de la curva, subjecta a sedimentación, i que són produïdes per diferents depòsits de matèria. Entre les bandes pot encara haver aigua superficial estancada, sobretot durant els estiajes.

Lo que s'ha mencionat es pot notar, tant en trams en curves àmplies, com a on hi ha meandres. En desenrollar-se meandres es pot presentar una condició extrema que es denomina de inestabilitat dinàmica.

Inestabilitat dinàmica

L'inestabilitat dinàmica es presenta quan el desplaçament lateral dels meandres és molt intens i per tant, el tall natural d'ells ocorre en molta freqüència. Cada volta que un meandre es talla, el riu tracta de recuperar la pendent original i per a això tendix de colp i repent a desenrollar noves curves i meandres. En desenrollar-se un meandre s'incrementa la llongitut de recorregut de la corrent i per tant disminuïx la pendent hidràulica.

Si abans d'alcançar la pendent d'equilibri nous meandres es tallen, el riu mai pot alcançar dita pendent. El fenomen descrit pot ocórrer en trams que comprenen vàries decenes de meandres, pero també ocorre en freqüència en trams reduïts, a on 2 o 3 curves es desplacen en major rapidea que les d'aigües dalt i avall. Per qué solament ocorre en trams acotats, encara no ha segut explicat.

Estabilitat morfològica

Quan en un riu es té més d'un caixer es parla d'estabilitat morfològica. L'estabilitat morfològica cobrix el concepte més ampli; açò és, en qualsevol caixer natural, la pendent $S$, d'un tram qualsevol, l'ample $B$, i el tirant $d_m$, de la seua secció travessera, aixina com el número de braços o caixers $N$, pels que escurre el cabal $Q$, depenen de dit cabal i de la seua distribució anual, de les característiques físiques dels materials que formen el fondo i les parets del caixer, i de la calitat i cantitat del sediment que és transportat $Q_{BT}$, que aplega al tram, procedent d'aigües dalt o d'aportacions laterals.

D'acort en esta definició, la majoria dels trams dels rius no afectats per l'home tenen estabilitat morfològica. Igual el riu que corre per un sol caixer i forma meandres regulars, que aquell que té un traç no uniforme, o en el que s'han format illes, o és trenat. Des del punt de vista morfològic tots els rius són estables, llevat aquells trams en els que un moviment telúric o el tall natural d'algun meandre molt desenrollat, haja alterat bruscament el curs o canviat la pendent. No obstant, immediatament despuix que ha ocorregut el tall o canvi de lloc del caixer, s'inicia el procés que tendirà a estabilisar-ho.

Quan el riu té un sol caixer convé referir-se a les estabilitat mencionades en les tres seccions anteriors.

Efecte de l'activitat antrópica en l'estabilitat dels caixers

Actualment molts trams de rius han deixat de tindre estabilitat morfològica per l'activitat humana. La construcció d'assuts, rectificació de rius i destrucció de boscs modifica els hidrogramas i la cantitat de sediment que aplega a cada tram, de tal sòrt que, en major o menor grau, deixen de ser estables des del punt de vista morfològic. Els trams alterats per l'home tendiran a alcançar un atre grau d'estabilitat uns quants anys despuix de la modificació; per eixemple, reducció de la capacitat hidràulica en formació d'illes que es cobrixen de vegetació quan es construïx un gran embassament; creació de nous meandres o erosió del fondo en reduir-se la llongitut d'un riu per mig d'una rectificació, etc.

Consideracions finals

De quant dit en les secciones precedents es conclou que, un tram de riu que té estabilitat dinàmica també la té morfològica. Lo mateix pot dir-se d'un tram de riu en estabilitat estàtica. La estabiidad dinàmica i estàtica són condicions extremes per a un canal format per un sol caixer; en el primer, el caixer pot sofrir desplaçaments laterals, mentres que en el segon el caixer està fix. La construcció d'obres pot canviar les condicions d'estabilitat. Aixina els assuts ocasionen que els trams immediatament aigües avall tendixquen a tindre estabilitat estàtica per haver interromput el pas de sedientos, i en ocasions per reduir el volum del hidrograma, pero sempre per reduir el cabal màxim de les avingudes.

És necessari mencionar que un assut gran reduïx el cabal màxim de les avingudes controlables, (cabals en temps de tornada de fins a uns 500 anys - Tr < 500 anys). L'efecte de reducció disminuïx a mida que es consideren cabals en temps de tornada majors, fins a l'extrem de que per a una avinguda en temps de tornada de 10 000 anys, o el cabal màxim possible (QMP), l'efecte regulador de l'embassament tendix a zero.

Un efecte semblant té la construcció de murs o dics de contenció en les màrgens, o espigones. Quan estes últimes obres són construïdes, el riu passa a tindre solament dos graus de llibertat en lloc dels tres que tenia originalment.

Un caixer en estabilitat estàtica té un o dos graus de llibertat, mentres que el que té estabilitat dinàmica té tres graus de llibertat.

Fòrmules fonamentals

A continuació s'analisa l'estabilitat dinàmica i a partir dels resultats obtinguts, es conseguix inferir també les característiques geomètriques per a caixers en estabilitat estàtica.

Les fòrmules fonamentals es referixen a:

• Resistència al fluix, en material aluvial. Les fòrmules de resistència al fluix que s'analisen són les de Cruickshank i Maza; i la de Manning;
• Transport de material de fondo. Entre les fòrmules de transport de sediment, es analizarám les de Meyer-Peter i Muller, Engelund, i la de Shields. Estes varen ser combinades en les de la fricció;
• Resistència de les màrgens. En totes les combinacions s'ha inclós la fòrmula de Gluschkov, com a tercera equació, per a tindre en conte la resistència de les màrgens.

La gran majoria de les fòrmules que els diversos investigadors han propost, fins ara, per a analisar els problemes de l'hidràulica fluvial són empíriques. Per eixe motiu les prediccions que s'obtenen en utilisar-les diferixen de la realitat, sobretot si són aplicades per a situacions diferents a les que es va tindre quan varen ser obtingudes. Un atre problema molt sério en este camp és la dificultat de medir el transport de sediment en forma precisa.

Les majors discrepàncies es produïxen en evaluar el transport de sediment; per este motiu, les diferències principals que es poden obtindre en predir la geometria i pendent dels caixers es deu a la fòrmula de transport utilisada.

Fòrmules de resistència al fluix

Les dos fòrmules que es presenten són la de Cruickshank i Maza i la de Manning. La primera va ser obtinguda per a fluix sobre fondo arenenc és útil per a rius en fondo d'eixe material, encara que posteriorment s'ha verificat la seua utilitat per a rius en fondo de grava. La segona fòrmula, de Manning, és apropiada per a caixers de qualsevol material, sempre que es disponga de senyes per a obtindre el coeficient de rugosidad de Manning en la suficient precisió.

Fòrmula de Cruickshank-Maza

Estos autors varen propondre dos fòrmules, una per a règim inferior, el que correspon al fluix sobre rulls i dunes i una atra per a règim superior, que correspon a fondo pla o en antidunas.

L'expressió per a règim inferior establix:

$U=\mathrm{7.58.}{\omega }_{50}{\left(\frac{d_m}{D_{84}}\right)}^{0.634}.{\left(\frac{S}{\Delta }\right)}^{0.456}$ ..........................................................................{1}

i és vàlida si:

$\frac{1}{S}$ ≥ $83.5{\left(\frac{d_m}{\Delta D_{84}}\right)}^{0.35}$ .........................................................................................................{2}

a on:

$\Delta =\frac{{\gamma }_{\delta }-\gamma }{\gamma }=S_{\delta }-1$ ......................................................................................................{3}

en que $S_{\delta }$ és la densitat relativa de les partícules i $\gamma$ i ${\gamma }_{\delta }$ són el pes específic de l'aigua i de la partícula respectivament, expressat en kg f/m³.

Agrupant els térmens coneguts, l'equació {1} també es pot escriure com:

$U=\alpha .{d_m}^{0.634}.S^{0.456}$ .........................................................................................................{4}

en que:

$\alpha =\frac{7.58{\omega }_{50}}{{D_{85}}^{0.634}.{\Delta }^{0.456}}$ ..........................................................................................................{5}

Per a règim superior varen propondre l'expressió:

$U=\mathrm{6.25.}{\omega }_{50}{\left(\frac{d_m}{D_{84}}\right)}^{0.644}.{\left(\frac{S}{\Delta }\right)}^{0.352}$ ........................................................................{6}

que és vàlida si:

$\frac{1}{S}$ ≤ $66.5{\left(\frac{d_m}{\Delta D_{84}}\right)}^{0.382}$ .....................................................................................................{7}

En les equacions anteriors el significat de les variables és:

• $d_m$ tirant mig de la corrent, en m, definit per la relació de l'àrea de la secció $A$ , en m², entre l'ample de la superfície lliure de la corrent $B$, en m.

$d_m=\frac{A}{B}$ ................................................................................................................................{8}

En rius a on $B$ ≥ $40d$ el seu valor és pràcticament igual al radi hidràulic $R$ ,

$d_m=R$ .................................................................................................................................{9}

• ${\omega }_{50}$ velocitat de caiguda de la partícula de $D_{50}$ , en m/s.

S'obté de la fòrmula de Rubey

Fòrmula de Rubey

${\omega }_{50}=F_1{(g.\Delta .D_{50})}^{0.5}$ ....................................................................................................{10}

en que:

$F_1={(\frac{2}{3}+\frac{36.v^2}{g.\Delta .{D_{50}}^3})}^{0.5}-{\left(\frac{36.v^2}{g.\Delta .{D_{50}}^3}\right)}^{0.5}$ .......................................................{11}

• $v$ viscosidad cinemàtica de l'aigua, en m²/s

• $D_{50}$ , $D_{84}$ diàmetro de les partícules en que el 50% o 85% del total de la mostra són menors que eixos tamanys; que $D_{50}$ i $D_{84}$ respectivament.

Si s'utilisen les equacions {1} i {4}, la velocitat mija $U$ , del escurrimiento, pot obtindre's sense supondre cap coeficient de fricció. Les fòrmules propostes són vàlides per a caixers arenencs en que $D_{50}$ ≤ 2 mm.

Coneguda la velocitat mija, el cabal $Q$ que passa per la secció val:

$Q=U.B.d_m$ ......................................................................................................................{12}

i per tant, en substituir l'equació {4} en la {12} s'obté:

$Q=\alpha .B.{d_m}^{1.634}.S^{0.456}$ .................................................................................................{13}

Fòrmula de Manning

Artícul principal → Fòrmula de Manning.

Esta fòrmula establix que:

$U=\frac{1}{n}.R^{2/3}.S^{1/2}$ .............................................................................................................{14}

en que $R$ és el radi hidràulic de la secció en m, i $n$ és el coeficient de fricció segons Manning.

El cabal que escurre per una secció rectangular és igual a:

$Q=\frac{1}{n}.{d_m}^{5/3}.B.S^{1/2}$ ...........................................................................................................{15}

la qual cosa es complix sempre i quan l'ample de la secció siga molt major que el tirant ( $B$ ≥ $40d_m$), ya que en això s'obté que $R=d_m$.

El coeficient $n$ es deu obtindre de l'experiència, o be de forma indirecta calculant els coeficients de rugosidad $C$ de Chezy o $f$ de Darcy-Weisbach per mig de l'us de fòrmules o métodos desenrollats per a calcular la resistència al fluix de caixers en fondo mòvil.

Si es conta en suficients senyes de camp i per tant es coneixen $A,B,d_m,S$ en precisió i per a diferents $Q$, es pot obtindre el coeficient de rugosidad $n$. En eixes condicions els valors de $n$ obtinguts tenen en conte tant la fricció com atres pèrdues ocasionades per les curves, irregularitats de les màrgens, canvis de la secció travessera, etc. Esta és una de les ventages de la fòrmula de Manning que no tenen atres métodos, encara que hagen segut desenrollades per a rius com el presentat dalt.

Fòrmules per al transport de sediment

Per al càlcul del transport total de sediment també existixen vàries fòrmules possibles, les principals són:

• Fòrmula de Engelund. Esta és una de les més precises per a evaluar el transport total de fondo. Per a treballar en les fòrmules de disseny derivades d'esta fòrmula es requerix conéixer el transport de fondo, lo que no sempre és possible. Per a utilisar esta fòrmula es requerix conéixer també la velocitat d'inici de transport, ya que segons ella es arrastrn partícules encara en velocitats miges del fluix per baix de la velocitat crítica. S'ha constatat que la fòrmula tira resultats absurts, en transport de edimentos molt alts, quan a penes s'ha iniciat el moviment de partícules.
• Fòrmula de Meyer-Peter i Müller. En caixers arenencs a on l'arrastre es produïx solament dins de la capa de fondo i en caixers a on el material és gros es recomana utilisar l'equació de Meyer-Peter i Müller.
• Fòrmula de Shields. Les falles indicades per a la fòrmula de Engelund se subsanen en la fòrmula de Shields, la qual permet obtindre també el transport total de material de fondo tant en la capa de fondo com en suspensió; no obstant no és tan precisa com la de Engelund quan el transport en suspensió és important.

Fòrmula de Engelund

La fòrmula de Engelund és vàlida per a obtindre el transport total de fondo, i s'aplica quan el material és arenenc, 0.15 mm < $D_{50}$ < 2 mm i $R_{*}=\frac{U_{*}{D}_{50}}{v}$ ≥ 12. La seua fòrmula establix que:

$Q_{BT}=\frac{\mathrm{0.04.}{(d_m.S)}^{1.5}.U^2.B}{{\Delta }^2.g^{0.5}.D_{35}}$ .................................................................................{16}

a on:

• $Q_{BT}=$ transport total de fondo, en m³/s

• $U=$ velocitat mija del fluix de l'aigua, en m/s

• $B=$ ample mig de la superfície lliure de l'aigua, en m

• $b=$ ample mig del fondo, en m. Per a canals i rius molt amples $B$ ≥ $40d$ , es considera $b=B$. En aplicacions pràctiques es considera esta hipòtesis. Tinga's en conte que en les fòrmules de transport, l'ample $b$ que cal considerar és aquell en que ocorre el transport de sediment; Autors com Altunin indiquen que $b=$ ( 0.8 a 0.9 ) $B$. Aixina per eixemple si es complira que $b=0.9B$ el coeficient de la fòrmula de Engelund seria igual a 0.036 aixina com el numerador de l'equació {18}.

Agrupant els paràmetros que permaneixen constants en el tram de riu en estudi, i tenint en conte les equacions {12} l'equació {16} es pot escriure com

$Q_{BT}=\frac{\beta .Q^2.S^{1.5}}{B.{d_m}^{0.5}}$ ......................................................................................................{17}

a on

$\beta =\frac{0.04}{{\Delta }^2.g^{0.5}.D_{50}}$ .........................................................................................................{18}

Com s'ha indicat, la fòrmula de Engelund permet evaluar el transport total de fondo. Quan en un riu o canal ${\tau }_{*}=\frac{d_m.S}{\Delta .D_m}$ és < 0.3, pràcticament tot el transport té lloc en la capa de fondo. No obstant en estes condicions la fòrmula de Engelund dona valors de $Q_{BT}$ majors que atres métodos.

Fòrmula de Meyer-Peter i Müller

La fòrmula de Meyer-Peter i Müller s'utilisa per a evaluar el transport en la capa de fondo; s'utilisa quan el material és granular ya siga grava o arena i s'expressa com:

$Q_B=8{D_m}^{1.5}{g}^{0.5}{\Delta }^{0.5}b{[{\left(\frac{n^{\text{'}}}{n}\right)}^{1.5}\left(\frac{d_m.S}{\Delta .D_m}\right)-0.047]}^{1.5}$ ...........................{19}

a on:

$Q_B=$ arrastre de la capa de fondo, en tota la secció, en m³/s.

$D_m=$ diàmetro mig del material de fondo, en m. S'obté de l'expressió:

$D_m=\frac{\sum D_i.p_i}{100}$.en mm .................................................................................................{20}

en la que:

$p_i=$ percentage en pes de cada fracció de la mostra, en diàmetro $D_i$.

$D_i=$ diàmetro mig de cada fracció en la que es dividix la curva granulométrica, en m. S'obté de l'expressió:

$D_i={(D_{imin}.D_{imax})}^{1/2}$.............................................................................................{21}

$g=$ acceleració de la gravetat en m/s²

$n$ Rugosidad total en el tram. S'obté de l'expressió de Manning, a partir de les senyes de camp:

$n=\frac{{d_m}^{2/3}.S^{0.5}}{U}$ ............................................................................................................{22}

$n^{\text{'}}$ Rugosidad de les partícules. S'obté de l'expressió de Meyer-Peter i Müller:

$n^{\text{'}}=\frac{{D_{90}}^{1/6}}{26}$ .....; $D^{90}$ , en m ........................................................................................{23}

Agrupant els paràmetros que permaneixen constants per a un tram donat de r;io, i acceptant que $b=B$ d'acort a lo explicat en la fòrmula de Engelund, l'equació de Meyer-Peter i Müller es pot escriure com:

$Q_B=ϵB{(N.d_m.S-0.047)}^{1.5}$ .............................................................................{24}

a on

$ϵ=8.{D_m}^{1.5}.g^{0.5}.{\Delta }^{0.5}$ ................................................................................................{25}

$N={\left(\frac{n^{\text{'}}}{n}\right)}^{3/2}\frac{1}{\Delta .D_m}$ ................................................................................................{26}

Si en una aplicació real, per eixemple, $b=0.9B$, es modificarà el coeficient de $ϵ$ en l'equació {25}, el que per a eixa situació valdrà 7.2

Condicions extremes

Segons l'equació {24}, si l'arrastre és molt menut o nul, el terme en que apareix $Q_B$ , s'anula i queda la relació que establix la condició crítica d'arrastre.

Per un atre costat, si el transport de sediment és molt gran, els térmens $Q_B$ i $N.d_m.S$ tendixen a un valor alt per lo que es pot eliminar el valor $0.047$ , en lo que es conseguix la simplificació:

$Q_B=ϵ.B{(N.d_m.S)}^{1.5}$ ............................................................................................{27}

que és vàlida quan ${\tau }_{*}$ ≥ 1.0

Ademés, en efectuar el producte $ϵ.N^{1.5}$ , se simplifiquen els térmens ${D_m}^{1.5}$ ; en eixes circumstàncies el transport de sediment no depén explícitament del diàmetro mig del material.

Fòrmula de Shields

La fòrmula de Shields va propondre, per a evaluar el transport de sediment, l'expressió:

$\frac{q_{BT}.\Delta }{g_w.S}=\frac{10.({\tau }_o-{\tau }_c)}{D_{50}.({\gamma }_{\delta }-\gamma )}$ ...........................................................................................{29}

a on:

$q_{BT}=$ transport unitari total de material del fondo, en kg f/s.m . Si es vol expressar en volum, s'utilisa la relació:

$g_{BT}={\gamma }_{\delta }.q_{BT}$ ...............................................................................................................{30}

$g_{BT}=$ transport unitari total de fondo, en m³/s.m

$g_w=$ despesa unitària líquit expressat en pes, en kg f/s.m. Si es desija expressar en volum s'utilisa la relació:

$q=g_w/\gamma$ ........................................................................................................................{31}

$q=$ cabal líquit unitari (per m d'esgambi en el riu), en m³/s.m

${\tau }_o=$ esforç tangencial que el líquit eixercix sobre el fondo, en kg f/m² S'obté de la relació:

${\tau }_o=\gamma .d_m.S$ ..................................................................................................................{32}

${\tau }_o=$ esforç tangencial crític en funció $D_{50}$, en kg f/s.m. S'obté de la curva de Shields, l'equació de la qual, proposta per Maza, establix que

${\tau }_c=({\gamma }_{\delta }-\gamma )D\left[\frac{0.2196}{D_{*}}\right]+0.077e^{[-{\left(\frac{30.35}{D_{*}}\right)}^{0.563}]}$ ...........................................{33}

vàlida per a $D_{*}$ ≤ $333$, a on

$D_{*}=D_{50}{\left[\frac{g({\gamma }_{\delta }-\gamma )}{\gamma .v^2}\right]}^{1/3}$ .......................................................................................{34}

Quan $D_{*}$ > $333$, ${\tau }_c$ val:

${\tau }_c=0.06({\gamma }_{\delta }-\gamma )D_{50}$ ..............................................................................................{35}

Si es sustitiyen les equacions {30} i {31} en l'equació {29} i es rebuja el transport de sediment, s'obté:

$q_{BT}=\frac{10.q.S}{{\gamma }_{\delta }.{\Delta }^2.D_{50}}({\tau }_o-{\tau }_c)$ .....................................................................................{36}

En multiplicar esta última equació per l'ample del fondo $b$, de la secció, i acceptant que $b=B$, s'obté:

$Q_{BT}=\frac{10.Q.S}{{\gamma }_{\delta }.{\Delta }^2.D_{50}}({\tau }_o-{\tau }_c)$ ...................................................................................{37}

Si ademés s'agrupen les variables que depenen de les propietats físiques del líquit i del material de fondo s'aplega a

$Q_{BT}=\delta .Q.S({\tau }_o-{\tau }_c)$ .............................................................................................{38}

a on:

$\delta =\frac{10}{{\gamma }_{\delta }.{\Delta }^2.D_{50}}$ .............................................................................................................{39}

Tinga's en conte que en les fòrmules de transport, l'ample que cal considerares aquell en que ocorre el transport de sediment. Autors com Altunin indiquen que es pot considerar com sent de 0.8 B a 0.9 B. Aixina el numerador de la fòrmula {39} seria igual a 8 o 9 respectivament.

Condicions extremes

La fòrmula de Shields es pot simplificar quan el transport és nul o molt gran.

Quan és nul s'aplega a la condició crítica a on es complix que:

${\tau }_o={\tau }_c$ .............................................................................................................................{40}

Si el transport de sediment és gran, la qual cosa ocorre si ${\tau }_{*}>0.5$ es complix que ${\tau }_o$ >> ${\tau }_c$ i per lo tant, ${\tau }_c$ es pot eliminar de l'equació de Shields en lo que s'aplega a

$Q_{BT}=\delta .Q.S.{\tau }_o$ ...........................................................................................................{41}

o be:

$Q_{BT}=\gamma .\delta .Q.S^2.d_m$ ...................................................................................................{42}

Shields va obtindre la seua fòrmula en 1936, quan encara Einstein no havia introduït la seua consepto de capa de fondo, per lo que molts autors consideren que només és vàlit per a evaluar l'arrastre en la capa de fondo. No obstant, Díazy Maza (1986) han demostrat que servix per a evaluar el transport total del material del fondo, tant l'arrastrat en esacapa com en suspensió.

Fòrmules de la resistència de les màrgens

Existixen vàries fòrmules possibles per a representar la resistència de les màrgens, una de les més usades és la fòrmula de Gluschkow, també usada pel método de Altunin, la que establix que:

$B^m=K{d}_m$ ....................................................................................................................{43}

a on:

$m=$ exponent que val :

$m=0.72{\left(\frac{\Delta D_{50}}{d_{m}S}\right)}^{0.1}$ .................................................................................................{44}

$K=$ Coeficient que pot variar entre 2 i 4 per a rius en màrgens molt resistents a l'erosió, de 8 a 12 per a caixers formats en material aluvial i de 16 a 20 per a rius en màrgens fàcilment erosionables.

En aplicar l'equació {44}, $m$ varia usualment entre 0.5 i 1.0

Algunes atres equacions de resistència de màrgens s'obtenen dels diversos métodos basats en la Teoria de règim, entre uns atres:

Lacey $B^{2/3}=22.3{D_m}^{1/6}{d}_m$ ......................................................................................................{45}

Segons Lacey, aplicant l'equació {45} obté els següents valors:

$m=0.667$ ; i,

$K$ ≅ $22.3{D_m}^{1/6}$ (4.8 per a arena fina; 7.05 per a arena grossa)

Blench ${b_m}^{2/3}=\frac{\mathrm{1.49.}{F}_b}{F_{\delta }^{2/3}}.d$ ...........................................................................................................{46}

Segons Blench, aplicant l'equació {46} obté els següents valors:

$m=0.667$ ; i,

$K$ ≅ $\frac{\mathrm{1.49.}{F}_b}{F_{\delta }^{2/3}}$ (2.33. per a material molt cohesivo; 8.30 per a arena grossa)

Simons ${b_m}^{0.705}=\frac{\mathrm{0.7673.}{K}_1^{0.705}}{K_2}.d$ ..........................................................................................{47}

Segons Simons i Albertson, aplicant l'equació {47} obté els següents valors:

$m=0.705$ ;

$K$ ≅ $8.93$ per a vores i fondo arenenc;

$K$ ≅ $6.37$ per a fondo d'arena i vores cohesivas; i,

$K$ ≅ $8.33$ per a material gros.

Kondap $B^{0.56}=\frac{{D_m}^{0.1}.g^{0.179}}{\mathrm{24.867.}{v}^{0.36}}.d_m$ .............................................................................................{48}

Segons Kondap, aplicant l'equació {48} s'obtenen els següents valors:

$m=0.56$ ;

$K$ ≅ $3.4$ per a arena fina;

$K$ ≅ $4.8$ per a arena molt grossa.

Segons Stebbings,

$m=0.667$ ;

$K$ ≅ $8.22$ per a transport nul de sediment, $Q_B=0$;

$K$ ≅ $25.82$ per a transport màxim de sediment.

Els valors de $m$ i $K$ poden, per una atra part obtindre's per mig d'atres métodos existents en la lliteratura especialisada.

Crítica del método

Es pot notar que el valor de $m$ dau per l'equació {44} varia entre llímits estrets, no aixina el coeficient $K$. Este coeficient depén del material que formen el fondo i les vores del caixer; vegen-se els valors presentats pels diversos investigadors presentats dalt. Stebbings, ademés, d'acort en les seues investigacions fa intervindre en la determinació del paràmetro també el transport de sediment. Tenint en conte lo anterior, no sorprén que cada autor haja obtingut valors diferents, encara en treballar en el mateix material; aixina Kondap va trobar un valor de 3.4 per a arena molt solta i fina, mentres Glischkov per al mateix material propon valors entre 16 i 20 i Stebbings li assigna un valor màxim de 26.

Estes diferències depenen sense dubte de les senyes que utilisa cada autor. Les variacions tan grans de $K$ i la falta d'un criteri equació per a seleccionar el seu valor en funció del material del fondo i vores del caixer i del transport de sediment a lo llarc d'ell, representa el fallo més important de la fòrmula de Gluschkov i també de la teoria de règim, quan es desija aplicar a caixers naturals.

Est és un camp de la ciència en que encara queda molt per estudiar i experimentar en el futur.