Fòrmula de De Polignac

En teoria de números, la fòrmula de De Polignac, cridada aixina en honor a Alphonse de Polignac, proporciona una fòrmula per a la factorisació en cosins del factorial, a on n ≥ 1 és un número entero. L. E. Dickson atribuïx la fòrmula a Legendrei també li la coneix per açò com a fòrmula de Legendre. En concret, la fòrmula dona una expressió per a trobar en quin exponent contribuïx cada cosí menor que $n$ a la factorisació de $n!$ i, per tant, la descomposició en factors primers de $n!$.

Enunciat

Siga n ≥ 1 un sancer. Podem expressar $n!$ com un producte de número primo factorizándolo. Obtenim puix que

$n!=\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{p\text{ primo}}{p\le n}}{p}^{s_p(n!)}$

per a certs cosins $p$ que contribuïxen en exponents $s_p(n!)$ (és dir, definim $s_p(n!)$ com l'exponent de $p$ en la descomposició en factors primers de $n!$). Clarament, els cosins de la descomposició deuen ser menors que $n$ (puix deuen dividir a algun número menor que $n$ per definició de factorial).

La fòrmula de Legendre nos dona llavors una fòrmula explícita per a calcular estos exponents (i, per tant, tota la descomposició). Concretament, afirma que

$s_p(n!)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\lfloor \frac{n}{p^i}\rfloor$,

a on els corchetes representen la funció chafe.

Note's que, per a qualsevol número real x, i qualsevol sancer n, es té que:

$\lfloor \frac{x}{n}\rfloor =\lfloor \frac{\lfloor x\rfloor }{n}\rfloor$

que permet calcular més senzillament els térmens s_p(n!).^{cita requerida}

Eixemple

Per a n=6, es té que $6!=720=2^4\cdot 3^2\cdot 5^1$. Els exponents, que sabem que valen $s_2(6!)=4,s_3(6!)=2,s_5(6!)=1$, es poden calcular també en la fòrmula de Legendre:

$\begin{array}{cc}{s}_2(6!)& =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\lfloor \frac{6}{2^i}\rfloor =\lfloor \frac{6}{2}\rfloor +\lfloor \frac{6}{4}\rfloor =3+1=4,\\ s_3(6!)& =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\lfloor \frac{6}{3^i}\rfloor =\lfloor \frac{6}{3}\rfloor =2,\\ s_5(6!)& =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\lfloor \frac{6}{5^i}\rfloor =\lfloor \frac{6}{5}\rfloor =1.\end{array}$

Demostració

Com, per definició, $n!$ és el producte dels sancers entre $1$ i $n$, obtenim per lo manco un factor $p$ en $n!$ per cada múltiple de $p$ en $\{1,2,\dots ,n\}$. Com cada múltiple de $p$ dista del següent una distància $p$, en la llista anterior tenim $\lfloor \frac{n}{p}\rfloor$ múltiples de $p$. Pero cada múltiple de $p^2$ contribuïx en dos factors (i no un) de $p$, cada múltiple de $p^3$ en tres factors de $p$, etcétera. Pel mateix argument anterior, en $\{1,2,\dots ,n\}$ hi ha $\lfloor \frac{n}{p^i}\rfloor$ múltiples de $p^i$. Aixina, si sumim un per cada múltiple de $p$ en $\{1,2,\dots ,n\}$ (o lo que és lo mateix, el número de múltiples de $p$ en $\{1,2,\dots ,n\}$), un més per cada número que siga també múltiple de $p^2$ (el número de múltiples de $p^2$ en $\{1,2,\dots ,n\}$), un més per cada número que siga també múltiple de $p^3$ (el número de múltiples de $p^3$ en $\{1,2,\dots ,n\}$), etcétera, obtenim el número de factors $p$ que té $n!$, pero açò és lo que enuncia la fòrmula de Legendre. $◻$

Bibliografia

• Plantilla:Ref lliure