Esquema FTCS

En anàlisis numèric, el método FTCS (forward clave-centered space) és un método de diferències finitas utilisat per a resoldre numèricament l'equació de la calor i unes atres equacions parabòliques en derivades parcials similars. És un método de primer orde en el temps, explícit en el temps, i és condicionalment estable quan s'aplica a l'equació de la calor. Quan s'utilisa com a método per a equacions de advección, o més generalment equacions hiperbòliques en diferencials parcials, és inestable a menos que s'incloga viscosidad artificial. L'abreviatura FTCS va ser utilisada per primera volta per Patrick Roache.

El método

El método FTCS es basa en el método de Euler cap a avant en el temps (d'ahí «temps cap a avant») i en la diferència central en l'espai (d'ahí «espai centrat»), lo que proporciona una convergència de primer orde en el temps i una convergència de segon orde en l'espai. Per eixemple, en una dimensió, si l'equació diferencial parcial és

$\frac{\partial u}{\partial t}=F(u,x,t,\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2})$

llavors, deixant $u(i\Delta x,n\Delta t)=u_i^n$, El método de Euler cap a avant ve dau per:

$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t}=F_i^n(u,x,t,\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2})$

La funció $F$ deu discretizarse espacialment en un esquema de diferència central. Es tracta d'un método explícit, lo que significa que $u_i^{n+1}$ pot calcular-se explícitament (sense necessitat de resoldre un sistema d'equacions algebraiques) si es coneixen els valors de $u$ en el nivell de temps anterior $(n)$. El método FTCS és computacionalment econòmic, ya que es tracta d'un método explícit.

Ilustració: equació de la calor unidimensional

El método FTCS s'aplica a sovint a problemes de difusió. Com a eixemple, per a l'equació de la calor unidimensional,

$\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$

l'esquema FTCS ve dau per:

$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t}=\alpha \frac{u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n}{\Delta x^2}$

o, deixant $r=\frac{\alpha \Delta t}{\Delta x^2}$:

$u_i^{n+1}=u_i^n+r(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n)$