Equilibri correlacionado

Israel Uman, també conegut com Robert Aumann

En la teoria de jocs, un equilibri correlacionado és un concepte de solució que és més general que el conegut equilibri de Nash. Es va discutir per primera volta pel matemàtic Robert Aumann (1974). L'idea és que cada jugador elegix la seua acció d'acort a la seua observació del valor de la mateixa senyal pública. Una estratègia assigna una acció a cada possible observació que un jugador pot fer. Si cap jugador volguera desviar-se de l'estratègia recomanada (assumint que els demés no s'aparten), la distribució es diu un equilibri correlacionado.

Definició Formal

És un joc estratègic de $N$ jugadors $(N,A_i,u_i)$ que es caracterisa per jugar un conjunt d'accions $A_i$ una funció d'utilitat $u_i$ per a cada jugador $i$. Quan el jugador $i$ tria l'estratègia $a_i\in A_i$ i el restant dels jugadors trien l'estratègia descrita per la $N-1$-tuple $a_{-i}$, llavors l'utilitat del jugador $i$ és $u_i(a_i,a_{-i})$.

Una modificació de l'estratègia per al jugador $i$ és una funció $\varphi :A_i\to A_i$. És dir, $\varphi$ diu jugador $i$ per a modificar el seu comportament en jugar l'acció $\varphi (a_i)$ quan se li indique per a jugar $a_i$.

Siga $(\Omega ,\pi )$ un Conjunt numerable en un Espai provabilístic. Per a cada jugador $i$, siga $P_i$ la seua partició d'informació, $q_i$ be $i$ la Provabilitat a posteriori i siga $s_i:\Omega \to A_i$, assignant el mateix valor a estats en la mateixa cela de $i$ la partició d'informació. Llavors $((\Omega ,\pi ),P_i,s_i)$ és un equilibri correlacionado del joc estratègic $(N,A_i,u_i)$ si per a cada jugador $i$ i per cada modificació d'estratègia ${\varphi }_i$:

$\sum _{\omega \in \Omega }{q}_i(\omega )u_i(s_i(\omega ),s_{-i}(\omega ))\ge \sum _{\omega \in \Omega }{q}_i(\omega )u_i({\varphi }_i(s_i(\omega )),s_{-i}(\omega ))$

En atres paraules, $((\Omega ,\pi ),P_i)$ és un equilibri correlacionado si cap jugador pot millorar la seua utilitat esperada per mig d'una modificació d'estratègia.

Eixemple

Jugue de la gallina

	D	C
D	0, 0	7, 2
C	2, 7	6, 6

Considere el joc de la gallina. En este joc dos individus es desafien entre sí en un concurs en el que cada tant s'atrevixen o s'acovardixen. Si un va a atrevir-se, és millor que l'atre s'acovardixca. Pero si un va a acovardir és millor que l'atre s'atrevixca. Açò du a una situació interessant a on cada u vol atrevir-se, pero sí i només si l'atra força s'acovardix.

En este joc, hi ha tres equilibris de Nash. Les dos estratègies pures són equilibris de Nash (D, C) i (C, D). També hi ha una estratègia mixta d'equilibri en el que cada jugador s'atrevix en una provabilitat d'1/3.

Considerem ara a un tercer (o algun event natural) que atrau a una de les tres targetes marcades: (C, C), (D, C), i (C, D), en la mateixa provabilitat, és dir, una provabilitat d'1/3 per a cada una de les opcions. Despuix de dibuixar la targeta de la tercera part informa als jugadors de l'estratègia que se'ls assigna en la targeta (pero no l'estratègia assignada al seu oponent). Supongam que un jugador se li assigna D, que no li agradaria a desviar-se suponent que l'atre jugador juga la seua estratègia assignat des de que obtindrà 7 (la rendabilitat més alta possible). Supongam que un jugador se li assigna C. A continuació, l'atre jugador jugarà C en una provabilitat d'1/2 i D en una provabilitat d'1/2. L'utilitat esperada de D és 0 (1/2) + 7 (1/2) = 3.5 i l'utilitat esperada de C és 2 (1/2) + 6 (1/2) = 4. Per lo tant, el jugador preferix acovardir-se.

Ya que cap dels jugadors té incentius per a desviar-se, es tracta d'un equilibri correlacionado. Curiosament, el pagament esperat per a este equilibri és 7 (1/3) + 2 (1/3) + 6 (1/3) = 5, que és més alt que el pagament esperat de l'estratègia mixta equilibri de Nash.