Equacions consistents i inconsistentes

En matemàtiques, i particularment en àlgebra, un sistema d'equacions (ya siga llineal o no llineal) es diu consistent si hi ha a lo manco un conjunt de valors per a les incògnites que satisfà cada equació del sistema, és dir, quan és substituït en cada una de les equacions, fan que cada equació siga verdadera com identitat. Pel contrari, un sistema d'equacions llineal o no llineal es denomina inconsistente si no existix un conjunt de valors per a les incògnites que satisfaça totes les equacions.

Si un sistema d'equacions és inconsistente, llavors les equacions no poden ser verdaderes juntes, lo que du a resultats contradictoris, com les afirmacions falses 2= 1, o $x^3+y^3=5$ i $x^3+y^3=6$ (lo que implicaria que 5 = 6).

Abdós tipos de sistemes d'equacions, consistents i inconsistentes, poden ser sobredeterminados (que tenen més equacions que incògnites), infradeterminados (que tenen menys equacions que incògnites) o exactament determinats.

Eixemples simples

Indeterminat i consistent

El sistema

$\begin{array}{cc}x+y+z& =3,\\ x+y+2z& =4\end{array}$

té un número infinit de solucions, totes elles en z = 1 (com es pot vore restant la primera equació de la segona) i, per lo tant, totes tenen x + i = 2 per a qualsevol valor de x i i.

El sistema no llineal

$\begin{array}{cc}{x}^2+y^2+z^2& =10,\\ x^2+y^2& =5\end{array}$

té una infinitat de solucions, totes implicant que $z=\pm \sqrt{5}.$

Ya que cada u d'estos sistemes té més d'una solució, és un sistema indeterminat.

Indeterminat i inconsistente

El sistema

$\begin{array}{cc}x+y+z& =3,\\ x+y+z& =4\end{array}$

no té solucions, com es pot vore restant la primera equació de la segona per a obtindre el resultat impossible 0 = 1.

El sistema no llineal

$\begin{array}{cc}{x}^2+y^2+z^2& =17,\\ x^2+y^2+z^2& =14\end{array}$

no té solucions, perque si es resta una equació de l'atra s'obté el resultat impossible 0 = 3.

Exactament determinat i consistent

El sistema

$\begin{array}{cc}x+y& =3,\\ x+2y& =5\end{array}$

té exactament una solució: x = 1, i = 2.

El sistema no llineal

$\begin{array}{cc}x+y& =1,\\ x^2+y^2& =1\end{array}$

té les dos solucions (x, i)= (1, 0) i (x, i)= (0, 1), mentres que

$\begin{array}{cc}{x}^3+y^3+z^3& =10,\\ x^3+2y^3+z^3& =12,\\ 3x^3+5y^3+3z^3& =34\end{array}$

té un número infinit de solucions perque la tercera equació és la primera equació més el doble de la segona i, per lo tant, no conté informació independent. En conseqüència, es pot elegir qualsevol valor de z i es poden trobar valors de x i i que satisfacen les dos primeres equacions (i per lo tant, la tercera).

Exactament determinat i inconsistente

El sistema

$\begin{array}{cc}x+y& =3,\\ 4x+4y& =10\end{array}$

no té solucions. La inconsistencia es pot vore multiplicant la primera equació per 4 i restant la segona equació per a obtindre el resultat impossible 0 = 2.

Aixina mateix,

$\begin{array}{cc}{x}^3+y^3+z^3& =10,\\ x^3+2y^3+z^3& =12,\\ 3x^3+5y^3+3z^3& =32\end{array}$

és un sistema inconsistente perque la primera equació més el doble de la segona menys la tercera conté el resultat contradictori 0 = 2.

Sobredeterminado i consistent

El sistema

$\begin{array}{cc}x+y& =3,\\ x+2y& =7,\\ 4x+6y& =20\end{array}$

té una solució, x= –1, i= 4, perque les dos primeres equacions no es contradiuen i la tercera equació és redundante (ya que conté la mateixa informació que es pot obtindre de les dos primeres equacions multiplicant cada una per 2 i sumant-les).

El sistema

$\begin{array}{cc}x+2y& =7,\\ 3x+6y& =21,\\ 7x+14y& =49\end{array}$

té una infinitat de solucions, ya que les tres equacions donen la mateixa informació entre sí (com es pot vore multiplicant la primera equació per 3 o 7). Qualsevol valor de i és part d'una solució, sent el valor corresponent de x 7 – 2i.

El sistema no llineal

$\begin{array}{cc}{x}^2-1& =0,\\ y^2-1& =0,\\ (x-1)(y-1)& =0\end{array}$

Té les tres solucions (x, i)= (1, –1), (–1, 1), (1, 1).

Sobredeterminado i inconsistente

El sistema

$\begin{array}{cc}x+y& =3,\\ x+2y& =7,\\ 4x+6y& =21\end{array}$

és inconsistente perque l'última equació contradiu l'informació inclosa en les dos primeres, com es veu en multiplicar cada una de les dos primeres per 2 i sumar-les.

El sistema

$\begin{array}{cc}{x}^2+y^2& =1,\\ x^2+2y^2& =2,\\ 2x^2+3y^2& =4\end{array}$

és inconsistente perque la suma de les dos primeres equacions contradiu a la tercera.

Criteris de coherència

Com pot vore's en els eixemples anteriors, la consistència front a la inconsistencia és una qüestió diferent a comparar el número d'equacions i incògnites.

Sistemes llineals

Artícul principal → Sistema d'equacions llineals.

Un sistema llineal és consistent si i solament si el seu matriu de coeficients té el mateix ranc que el seu matriu aumentada (la matriu de coeficients en una columna adicional agregada, sent eixa columna el vector columna format per les constants).

Sistemes no llineals

Artícul principal → Sistema d'equacions algebraiques.