Equació hipsométrica

La equació hipsométrica o equació altimétrica és una equació utilisada en meteorologia i oceanografia que relaciona un cocient entre pressions atmosfèriques en la gruixa equivalent d'una capa atmosfèrica assumint temperatura i gravetat constants. Es deriva de l'equació hidrostàtica i de la llei dels gasos ideals.

Equació

L'equació hipsométrica s'expressa com:

$h=z_2-z_1=\frac{R\overline{T}}{g}\ln \left(\frac{p_1}{p_2}\right)$

Símbol	Nom	Valor	Unitat
$h$	Gruixa de la capa atmosfèrica		m
$z$	Altitut		m
$g$	Acceleració gravitacional estàndar		m / s2
$R$	Constant dels gasos específica per a l'aire sec	287.06	J / (kg K)
$\overline{T}$	Temperatura mija de la capa		K
$p$	Pressió		Pa

En meteorologia, $p_1$ i $p_2$ són superfícies isobàriques. En altimetria, en l'Atmòsfera Estàndar Internacional, l'equació hipsométrica s'ampra per a computar la pressió a una altitut donada en capes isotèrmiques en l'estratosfera superior i inferior.

Derivació de l'equació

L'equació hidrostàtica:

$p=\rho \cdot g\cdot z$

a on $\rho$ és la densitat [kg/m³], s'usa per a generar l'equació del equilibri hidrostàtic, expressada en forma diferencial:

$dp=-\rho \cdot g\cdot dz$

Açò es combina en la llei dels gasos ideals:

$p=\rho \cdot R\cdot T$

Recordar que en tot el desenroll que seguix, $R$ no és la Constant dels gasos ideals sino la constant específica per a l'aire sec, és dir, ací $R$ és la constant dels gasos dividida per la massa molar de l'aire sec.

Per a eliminar $\rho$:

$\frac{\mathrm{d}p}{p}=\frac{-g}{R\cdot T}\mathrm{d}z$

Esta expressió s'integra entre $z_1$ i $z_2$:

$\underset{p(z_1)}{\overset{p(z_2)}{\int }}\frac{\mathrm{d}p}{p}=\underset{z_1}{\overset{z_2}{\int }}\frac{-g}{R\cdot T}\mathrm{d}z$

R i g són constants respecte de z, per lo que es poden traure fòra de l'integral. Si la variació de la temperatura és llineal respecte de z (com se supon en l'Atmòsfera Estàndar Internacional), també es pot traure de l'integral reemplaçant-la per $\overline{T}$, la temperatura mija entre $z_1$ i $z_2$.

$\underset{p(z_1)}{\overset{p(z_2)}{\int }}\frac{\mathrm{d}p}{p}=\frac{-g}{R\cdot \overline{T}}\underset{z_1}{\overset{z_2}{\int }}\mathrm{d}z$

En integrar, s'obté:

$\ln \left(\frac{p(z_2)}{p(z_1)}\right)=\frac{-g}{R\cdot \overline{T}}(z_2-z_1)$

que se simplifica a:

$\ln \left(\frac{p_1}{p_2}\right)=\frac{g}{R\cdot \overline{T}}(z_2-z_1)$

Reordenando els térmens, queda:

$z_2-z_1=\frac{R\cdot \overline{T}}{g}\ln \left(\frac{p_1}{p_2}\right)$

o, alternativament, eliminant el logaritmo neperiano (ln):

$\frac{p_1}{p_2}=e^{\frac{g}{R\cdot \overline{T}}\cdot (z_2-z_1)}$