Equació de Cahn-Hilliard

La equació de Cahn-Hilliard, formulada pels nortamericans John Werner Cahn i John E. Hilliard en 1957, és una equació de física matemàtica que descriu el procés de separació de fases, pel qual els dos components d'un decorregut binario se separen espontàneament i formen dominis purs en cada component. Si $c$ és la concentració del decorregut, en $c=\pm 1$ indicant dominis, llavors l'equació s'escriu de la següent manera:

$\frac{\partial c}{\partial t}=D{\mathrm{\nabla }}^2(c^3-c-\gamma {\mathrm{\nabla }}^{2}c)$

Símbol	Nom	Unitat	Fòrmula
$D$	Coeficient de difusió	m2 / s
$\sqrt{\gamma }$	Llongitut de les regions de transició entre els dominis
$\partial /\partial t$	Derivada parcial respecte al temps
${\mathrm{\nabla }}^2$	Laplaciana en $n$ dimensions
$\mu$	Potencial químic		$\mu =c^3-c-\gamma {\mathrm{\nabla }}^{2}c$

Relacionat en això està l'equació d'Allen-Cahn, aixina com l'equació estocàstica de Cahn-Hilliard i l'equació estocàstica d'Allen-Cahn.

Característiques i aplicacions

L'existència d'una solució única de l'equació de Cahn-Hilliard és de gran interés per als matemàtics, donada per senyes inicials suaus. La prova es basa essencialment en l'existència d'una Funció de Lyapunov. Específicament, si s'identifica

$F[c]=\int d^{n}x[\frac{1}{4}{(c^2-1)}^2+\frac{\gamma }{2}{\left|\mathrm{\nabla }c\right|}^2],$

com una funció d'energia lliure, llavors

$\frac{dF}{dt}=-\int d^{n}x{\left|\mathrm{\nabla }\mu \right|}^2,$

per a que l'energia lliure no creixca en el temps. Açò també indica que la segregació en dominis és el resultat asintòtic de l'evolució d'esta equació.

En experiments reals s'observa la segregació d'un decorregut binario inicialment mesclat en dominis. La segregació es caracterisa pels següents fets:

Archiu:CahnHilliard Animation.gif

Evolució de senyes inicials aleatòries baix l'equació de Cahn-Hilliard en $\gamma =0.5$ i $C=0$, demostrant separació de fases

• Hi ha una capa de transició entre els dominis segregats, en un perfil donat per la funció $c(x)=\tanh \left(\frac{x}{\sqrt{2\gamma }}\right),$ i per lo tant una gruixa típica $\sqrt{\gamma }$ perque esta funció és una solució d'equilibri de l'equació de Cahn-Hilliard.
• També és interessant el fet de que els dominis segregats creixen en el temps com una llei de poder. És dir, si $L(t)$ és el tamany de domini típic, llavors $L(t)\propto t^{1/3}$. Esta és la llei Lifshitz-Slyozov, que ha segut provada rigorosament per a l'equació de Cahn-Hilliard i observada en simulacions numèriques i experiments reals sobre decorreguts binarios.
• L'equació de Cahn-Hilliard té la forma d'una llei de conservació, $\frac{\partial c}{\partial t}=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐣(x),$ en $𝐣(x)=D\mathrm{\nabla }\mu$. D'esta manera, el procés de separació de fases conserva la concentració total $C=\int d^{n}xc(x,t)$, de manera que $\frac{dC}{dt}=0$.
• Quan una fase és significativament més abundant, l'equació de Cahn-Hilliard pot mostrar el fenomen conegut com Maduració de Ostwald, a on la fase minoritària forma gotes esfèriques i les gotes més chicotetes són absorbides per difusió en les més grans.

Les equacions de Cahn-Hilliard troben aplicacions en diversos camps: en decorreguts complexos i matèria blana, fluix de decorreguts interfaciales, ciència d'polímero i aplicacions industrials. La solució de l'equació de Cahn-Hilliard per a una mescla binaria va demostrar coincidir be en la solució d'un problema de Stefan i el model de Thomas i Windle. D'interés per als investigadors en l'actualitat és l'acoplament de la separació de fases de l'equació de Cahn-Hilliard a les equacions de Navier-Stokes de fluix de decorregut.

Bibliografia

• J. W. Cahn and J. E. Hilliard, Free energy of a nonuniform system. I. Interfacial free energy, J. Chem. Phys. 28, 258 (1958).
• A. J. Bray, Theory of phase-ordering kinetics Adv. Phys. 43, 357 (1994).
• J. Zhu, L. Q. Chen, J. Shen, V. Tikare, and A. Onuki, Coarsening kinetics from a variable mobility Cahn–Hilliard equation: Application of a semi-implicit Fourier spectral method, Phys. Rev. I 60, 3564 (1999).
• C. M. Elliott and S. Zheng, On the Cahn–Hilliard equation Arch. Rat. Mech. Anal. 96, 339 (1986).
• P. Areias, E. Samaniego and T. Rabczuk, A staggered approach for the coupling of Cahn--Hilliard type diffusion and finite strain elasticity Comp. Mech. 57(2), 339-351 (2016).
• T. Hashimoto, K. Matsuzaka, and E. Moses, String phase in phase-separating fluids under shear flow Phys. Rev. Lett. 74, 126 (1995).
• T. Ursell, Cahn–Hilliard Kinetics and Spinodal Decomposition in a Diffuse System Califòrnia Institute of Technology (2007).