Emparejamiento

El concepte de emparejamiento (o emparellament) ací tractat és referent al camp de les matemàtiques, específicament al àlgebra llineal. En aplicacions pràctiques en l'àrea de la criptografia.

Definició

Siga R un anell comutativo més l'unitat, i siguen M, N i L tres R-mòduls.

Un emparejamiento és qualsevol mapa bilinear R $e:M\times N\to L$. Que satisfaça:$e(rm,n)=e(m,rn)=re(m,n)$

per a qualsevol $r\in R$. O equivalentement, un emparejamiento és un mapa linear R: $M{\otimes }_{R}N\to L$

a on $M{\otimes }_{R}N$ denota el producte tensorial de M i N.

Un emparejamiento també pot ser considerat com un mapa linear R $\Phi :M\to {\mathrm{Hom}}_R(N,L)$, que satisfaça la primera definició i establixca $\Phi (m)(n):=e(m,n)$.

Un emparejamiento és cridat no degenerativo si per al mateix mapa es té que $e(m,n)=1$ per a tot valor de $m$ i $n=0$.

Eixemples

Qualsevol producte escalar en un espai vectorial V real és un emparejamiento (siguen M = N = V, R = R en les definicions anteriors).

El mapa determinant (matriu 2 × 2 en k) $\to$ k es pot considerar com un emparejamiento $k^2\times k^2\to k$.

El mapa de Hopf $S^3\to S^2$ definit com $h:S^2\times S^2\to S^2$ és un eixemple d'un emparejamiento. En, Hardie et al. presenten una construcció explícita d'este tipo de mapes utilisant conjunts parcialment ordenats.