Distància de Chebyshov

En matemàtiques, la distància de Chebyshov (o mètrica màxima, o mètrica L_∞) és una mètrica definida en un espai vectorial a on la distància entre dos punts (representats pels seus vectores) és la major de les seues diferències a lo llarc de qualsevol de les seues dimensions coordenades. Deu el seu nom al matemàtic rus Pafnuti Chebyshov.

També és coneguda com distància del tauler d'escacs, perque coincidix en el número mínim de moviments que necessita el rei per a anar d'una casella a una atra (este cas es correspon a un sistema de dos coordenades espacials, entre els centres de les caselles, i en els eixos alineats en les vores del tauler). Per eixemple, la distància de Chebyshov entre els escaques f6 i i2 és igual a 4.

Definició

La distància de Chebyshov entre dos vectores o punts p i q, de coordenades normals $p_i$ i $q_i$, respectivament, és:

$D_{\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{y}\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{v}}(p,q):=\underset{i}{\max }(|p_i-q_i|).$

Açò equival al llímit del espai mètric L_p:

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{i=1}^n{|p_i-q_i|}^k{)}^{1/k},$

Per això és també conegut com  L_∞ mètric.

Matemàticament, la distància de Chebyshov és una mètrica induïda per una norma suprema o norma uniforme. És un eixemple d'una mètrica inyectiva.

En dos dimensions, per eixemple, en la geometria plana, si els punts p i q tenen coordenades cartesianas $(x_1,y_1)$ i $(x_2,y_2)$, la seua distància de Chebyshov és:

$D_{\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}}=\max (|x_2-x_1|,|y_2-y_1|).$

Baix esta mètrica, un circumferència de ràdio r, és el conjunt de punts en distància de Chebyshov r respecte a un punt central, i coincidix en un quadrat els costats del qual tenen llongitut 2r i són paralels als eixos de coordenades.

En un tauler de escacs, a on s'utilisa una distància de Chebyshov discreta en lloc de contínua, el círcul de ràdio r és un quadrat de costat 2r, contenint únicament els centres de les caselles. Cada costat conté 2r+1 punts; per eixemple, el círcul de radi 1 en un tauler d'escacs és un quadrat de 3×3.

Propietats

En un espai unidimensional, tota mètrica L_p és igual, i coincidix en el valor absolut de la diferència de les seues coordenades.

En el cas de la distància de Manhattan bidimensional, els círculs també tenen forma de quadrat, en costats de llongitut $\sqrt{2}$ $r$, i orientat en un àngul de π/4 (45°) respecte als eixos de coordenades. En conseqüència, la distància de Chebyshov en el pla pot considerar-se equivalent per mig de rotació i escala a la distancia de Manhattan planar.

Aixina i tot, esta equivalència entre les mètriques L₁ i L_∞ no es generalisa a dimensions més altes. Una esfera formada utilisant la distància de Chebyshov com a mètrica és una gaveta en cada cara perpendicular a cada u dels eixos de coordenades, pero una esfera formada en la distancia de Manhattan és un octaedre: estos dos poliedres són duals, pero entre els gavetes, només el quadrat i el segment de llínea unidimensional són politopos autoduales.

La distància de Chebyshov és a voltes utilisada en llogística d'almagasenes, per a medir el temps efectiu que una grua pont necessita per a desplaçar un objecte quan la grua pot moure's en els eixos x i i al mateix temps i en la mateixa velocitat a lo llarc de cada eix.

En una reixeta regular (com un tauler d'escacs), els punts a distància de Chebyshov de valor 1 respecte a un punt donat, són el "veïnat de Moore" d'aquell punt.